[10p] Considerando os vetores bidimensionais p=(3,-1) e q=(-2,4).
Verificar a desigualdade triangular |p+q| <=|p|+|q|;

Passo 1

O enunciado dá os vetores bidimensionais p=(3,-1) e q=(-2,4) e pede para verificar a desigualdade triangular, que diz que o comprimento (norma) da soma é no máximo a soma dos comprimentos:
|p+q|<=|p|+|q|

Passo 2

Calcular a soma p+q:
p+q = (3,-1)+(-2,4) = (3-2,,-1+4) = (1,3)

Passo 3

Calcular a norma de p+q e as normas individuais:
|p+q| = raiz1^2+3^2 = raiz10,
|p| = raiz3^2+(-1)^2 = raiz10,
|q| = raiz(-2)^2+4^2 = raiz4+16 = raiz20

Passo 4

Comparar os valores:
|p+q| = raiz10 e |p|+|q| = raiz10 + raiz20
Como raiz20>0, segue que
raiz10 <= raiz10 + raiz20,
logo a desigualdade triangular está verificada.

Resposta

|p+q| = raiz10 <= raiz10 + raiz20 = |p|+|q|.

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