[10p] Dados os três vetores u=x+y+2 z, v=2 x-y+z e w=x-y+3 z. Calcular o produto u times(v times w).

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
vec u times (vec v times vec w)
sendo
vec u = hat x + hat y + 2hat z,
vec v = 2hat x - hat y + hat z e
vec w = hat x - hat y + 3hat z.
Para simplificar, vamos usar a identidade do produto vetorial triplo (identidade de Lagrange):
vec a times (vec b times vec c) = vec b ,(vec a cdot vec c);-;vec c,(vec a cdot vec b)

Passo 2

Calcular vec u cdot vec w. Como
vec u=(1,1,2) e vec w=(1,-1,3), temos
vec u cdot vec w =1cdot1 + 1cdot(-1) + 2cdot3 =1 -1 +6 =6

Passo 3

Calcular vec u cdot vec v. Como
vec v=(2,-1,1), temos
vec u cdot vec v =1cdot2 + 1cdot(-1) + 2cdot1 =2 -1 +2 =3

Passo 4

Aplicar a identidade do produto vetorial triplo com vec a=vec u, vec b=vec v, vec c=vec w:
vec u times (vec v times vec w) = vec v,(vec u cdot vec w);-;vec w,(vec u cdot vec v)

Passo 5

Substituindo vec u cdot vec w=6 e vec u cdot vec v=3:
vec u times (vec v times vec w) =6,vec v ;-;3,vec w =6(2hat x - hat y + hat z);-;3(hat x - hat y + 3hat z)
Calculando componente a componente:
6vec v =12hat x -6hat y +6hat z, 3vec w =3hat x -3hat y +9hat z,
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6vec v -3vec w =(12-3)hat x +(-6+3)hat y +(6-9)hat z =9hat x -3hat y -3hat z

Resposta

vec u times (vec v times vec w) = 9,hat x ;-;3,hat y ;-;3,hat z

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