Classifique e resolva os sistemas a seguir:
c5 x-3 y-7 z=-5 4 x-y-z=2 -2 x+4 y+8 z=10

Passo 1

O enunciado pede a classificação (determinado, indeterminado ou impossível) e a resolução do sistema linear com três incógnitas. Para classificar, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes; se det(A)neq0, o sistema é possível e determinado, isto é, tem solução única. Para resolver, usaremos o método da eliminação de Gauss.

Passo 2

Matriz dos coeficientes e vetor dos termos independentes:
A = 5 & -3 & -7 4 & -1 & -1 -2 & 4 & 8 , b = -5210
Calcula-se
det(A) = 5-1 & -14 & 8 -(-3)4 & -1-2 & 8 -74 & -1-2 & 4
que resulta em det(A)=-28neq0. Logo, o sistema é possível e determinado, com solução única.

Passo 3

Denotemos as equações originais por (E1), (E2), (E3):
(E1):5x-3y-7z=-5,
(E2):4x-y-z=2,
(E3):-2x+4y+8z=10
Para eliminar x entre (E1) e (E2) computamos
4(E1)-5(E2);Longrightarrow;7y+23z=30
Para eliminar x entre (E2) e (E3) computamos
(E2)+2(E3);Longrightarrow;7y+15z=22

Passo 4

Subtraindo a segunda equação reduzida da primeira:
(7y+23z)-(7y+15z)=30-22 Longrightarrow8z=8 Longrightarrow z=1
Substituindo em 7y+15z=22 vem
7y+15cdot1=22 Longrightarrow7y=7 Longrightarrow y=1

Passo 5

Finalmente, em qualquer equação original, por exemplo em (E2):
4x - y - z = 2 Longrightarrow4x - 1 - 1 = 2 Longrightarrow4x=4 Longrightarrow x=1

Resposta

O sistema é possível e determinado, e sua solução única é
(x,y,z) = (1,1,1)

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