[10p] Considerando os vetores tridimensionais A=x-2 y+z e B=2 x+y-3 z.
Determinar a área do paralelogramo formado pelos vetores A e B.

Passo 1

O enunciado dá os vetores tridimensionais
A = x - 2y + z
e
B = 2x + y - 3z
e pede a área do paralelogramo que eles formam.
Para isso, vamos usar o conceito de produto vetorial: a área é dada por
Área = l|AtimesBr| Á

Passo 2

Calculamos o produto vetorial AtimesB usando
AtimesB = l(AyBz - AzByr),x + l(AzBx - AxBzr),y + l(AxBy - AyBxr),z
Aqui A=(1,-2,1) e B=(2,1,-3), então
(AtimesB)x &= (-2)(-3) - (1)(1) = 6 - 1 = 5, (AtimesB)y &= (1)(2) - (1)(-3) = 2 + 3 = 5, (AtimesB)z &= (1)(1) - (-2)(2) = 1 + 4 = 5
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AtimesB = 5,x + 5,y + 5,z

Passo 3

A área do paralelogramo é o módulo de AtimesB:
l|AtimesBr| = raiz5^2 + 5^2 + 5^2 = raiz75 = 5raiz3

Resposta

A área do paralelogramo é 5raiz3.

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