[10p] Mostrar que os vetores A=3 x-4 y e B=x+2 y satisfazem a desigualdade de Cauchy-Schwarz, verificando explicitamente |A cdot B| <=|A||B|.

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos a desigualdade de Cauchy–Schwarz para os vetores
A=3,x-4,y e B=x+2,y, ou seja, mostrar que
l|AcdotBr|<=|A|,|B|
Para isso, vamos usar as definições de produto escalar em R^2 e de norma euclidiana.

Passo 2

Calculamos primeiro o produto escalar:
AcdotB = (3)(1)+(-4)(2) =3-8 =-5
Logo,
l|AcdotBr|=|-5|=5

Passo 3

Agora calculamos as normas:
|A| =raiz3^2+(-4)^2 =raiz9+16 =raiz25 =5,
|B| =raiz1^2+2^2 =raiz1+4 =raiz5

Passo 4

Multiplicando as normas, obtemos
|A|,|B| =5cdotraiz5 =5raiz5
Comparando com o valor absoluto do produto escalar, vemos que
5 <= 5raiz5,
o que confirma a desigualdade de Cauchy–Schwarz para A e B.

Resposta

A desigualdade fica
l|AcdotBr|=5<=5raiz5=|A|,|B|,
logo ela é satisfeita.

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