[10p] Dados os vetores u=3 x+y-2 z e v=2 x-y+z, determinar:
O ângulo entre os vetores u e v.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em R^3,
u=3x+y-2z e v=2x-y+z,
e pede o ângulo entre eles.
O conteúdo é produto escalar e norma de vetores, e vamos usar a relação
costheta = ucdotv|u|;|v|,
de onde surge theta = arccos(cdots).

Passo 2

Calculamos o produto escalar ucdotv.
Escrevendo coordenadas, u=(3,1,-2) e v=(2,-1,1). Então
ucdotv =3cdot2 + 1cdot(-1) + (-2)cdot1 =6 - 1 - 2 =3

Passo 3

Agora as normas:
|u| =raiz3^2 + 1^2 + (-2)^2 =raiz9 + 1 + 4 =raiz14,
|v| =raiz2^2 + (-1)^2 + 1^2 =raiz4 + 1 + 1 =raiz6

Passo 4

Substituímos na fórmula do cosseno:
costheta =ucdotv|u|;|v| =3raiz14,raiz6 =3raiz84 =32raiz21

Passo 5

O ângulo é
theta = arccos!l(32raiz21r)
Se quiser valor numérico,
32raiz21approx0,3273 Longrightarrow theta approx arccos(0,3273)approx 71,0^circ

Resposta

theta = arccos!l(tfrac32raiz21r)approx71,0^circ.

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