[10pts] Determine alguma região retangular do
tal que o PVI
possui uma única solução, onde
. Justifique bem a sua resposta. Isto poderá ser feito utilizando-se de algum teorema dado em sala.
Passo 1
O enunciado nos d’a o PVI
e pede uma regi~ao retangular
contendo
em que haja exist’encia e unicidade de solu\c{c}~ao. Vamos usar o Teorema de Picard-Lindel’o f, que exige que
e
sejam cont’inuas em
.
Passo 2
Escrevemos
O denominador
anula-se em
ou
. Logo,
só é contínua quando
e
. Calculamos também
que tem as mesmas descontinuidades. Portanto devemos escolher
de modo que sua projeção em
não contenha
nem
.
Passo 3
Como a condição inicial é
, podemos tomar um intervalo em
que contenha
mas fique longe de
e
. Por exemplo, escolhemos
ou seja
. Nesse intervalo
varia entre
e
, nunca se anulando, e tanto
quanto
são contínuas.
Passo 4
Bastará agora escolher um intervalo em
que contenha
. Por simplicidade, tomamos
ou seja
. Assim o retângulo
contém
e evita as descontinuidades.
Passo 5
Em
, tanto
quanto
s~ao cont’inuas. Pelo Teorema de Picard-Lindel’o f, o PVI tem exist’encia e 'unica solu\c{c}~ao em algum subintervalo de
.
Resposta
Um exemplo de região retangular é
Nessa região
e
são contínuas, garantindo existência e unicidade da solução.