[10pts] Determine alguma região retangular do R^2 tal que o PVI
y^prime=1+x^23 y-y^2, y(-1)=-2
possui uma única solução, onde y=y(x). Justifique bem a sua resposta. Isto poderá ser feito utilizando-se de algum teorema dado em sala.

Passo 1

O enunciado nos d’a o PVI
y' = 1 + x^23y - y^2, y(-1) = -2,
e pede uma regi~ao retangular RsubsetR^2 contendo (x0,y0)=(-1,-2) em que haja exist’encia e unicidade de solu\c{c}~ao. Vamos usar o Teorema de Picard-Lindel’o f, que exige que f(x,y)=1+x^23y - y^2 e partial f/partial y sejam cont’inuas em R.

Passo 2

Escrevemos
f(x,y)=1+x^23y - y^2
O denominador 3y-y^2=y(3-y) anula-se em y=0 ou y=3. Logo, f só é contínua quando yneq0 e yneq3. Calculamos também
partial fpartial y =-(1+x^2),(3-2y)(3y-y^2)^2,
que tem as mesmas descontinuidades. Portanto devemos escolher R de modo que sua projeção em y não contenha 0 nem 3.

Passo 3

Como a condição inicial é y(-1)=-2, podemos tomar um intervalo em y que contenha -2 mas fique longe de 0 e 3. Por exemplo, escolhemos
-3 <= y <= -1,
ou seja lvert y+2rvert<=1. Nesse intervalo 3y-y^2 varia entre -18 e -4, nunca se anulando, e tanto f quanto partial f/partial y são contínuas.

Passo 4

Bastará agora escolher um intervalo em x que contenha x0=-1. Por simplicidade, tomamos
-2 <= x <= 0,
ou seja lvert x+1rvert<=1. Assim o retângulo
R = (x,y)mid -2 <= x <= 0,,-3 <= y <= -1
contém (-1,-2) e evita as descontinuidades.

Passo 5

Em R, tanto f(x,y) quanto partial f/partial y s~ao cont’inuas. Pelo Teorema de Picard-Lindel’o f, o PVI tem exist’encia e 'unica solu\c{c}~ao em algum subintervalo de [-2,0].

Resposta

Um exemplo de região retangular é
R = (x,y)mid -2 <= x <= 0,,-3 <= y <= -1
Nessa região f e partial f/partial y são contínuas, garantindo existência e unicidade da solução.

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