Considere a função f(x)=x^2+1 no intervalo [0,3].
(a) Determine a soma de Riemann para uma partição regular de n subintervalos.
(b) Usando (a), encontre integral0^3 f(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede (a) encontrar a soma de Riemann para f(x)=x²+1 em [0,3] com partição regular de n subintervalos e (b) usar essa soma para calcular o integral definido de 0 a 3.

Passo 2

Para uma partição regular em n subintervalos em [0,3], a largura de cada intervalo é De<a x=3n.

Passo 3

Escolhemos os extremos direitos como pontos de amostragem: xi=i,De<a x=3in. A soma de Riemann fica
Sn=sumi=1^n f(xi),De<a x=sumi=1^nl((tfrac3in)^2+1r)3n

Passo 4

Separamos a soma em duas partes:
Sn=3nl(9n^2sumi=1^n i^2+sumi=1^n1r)

Passo 5

Usamos as fórmulas sumi=1^n i^2=tfracn(n+1)(2n+1)6 e sumi=1^n1=n. Substituindo, obtém-se
Sn=3nl(9n^2cdotn(n+1)(2n+1)6+nr)

Passo 6

Simplificando,
Sn=27(n+1)(2n+1)6n^2+3

Passo 7

Para calcular o integral, fazemos o limite de Sn quando ntoinfty. Os termos que dependem de 1/n tendem a zero, restando
integral0^3f(x),dx=limntoinftySn=12

Resposta

Para (a): Sn=sumi=1^nl((tfrac3in)^2+1r)3n=27(n+1)(2n+1)6n^2+3 Para (b): integral0^3f(x),dx=12

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