Considere a função
no intervalo
.
(a) Determine a soma de Riemann para uma partição regular de
subintervalos.
(b) Usando (a), encontre
.
(a) Determine a soma de Riemann para uma partição regular de
(b) Usando (a), encontre
Passo 1
O enunciado pede (a) encontrar a soma de Riemann para f(x)=x²+1 em [0,3] com partição regular de n subintervalos e (b) usar essa soma para calcular o integral definido de 0 a 3.
Passo 2
Para uma partição regular em n subintervalos em [0,3], a largura de cada intervalo é
.
Passo 3
Escolhemos os extremos direitos como pontos de amostragem:
. A soma de Riemann fica
Passo 4
Separamos a soma em duas partes:
Passo 5
Usamos as fórmulas
e
. Substituindo, obtém-se
Passo 6
Simplificando,
Passo 7
Para calcular o integral, fazemos o limite de
quando
. Os termos que dependem de
tendem a zero, restando
Resposta
Para (a):
Para (b):