- Considere a transformação
, com jacobiano
. Mostre que
e
. Deduza expressões análogas para as derivadas:
, e
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma transformação invertível
com Jacobiano
.
Queremos as derivadas parciais da inversa .
Queremos as derivadas parciais da inversa
Passo 2
Usamos a regra da cadeia aplicando
Isso gera o sistema linear em
:
Aqui usamos a notação (x_u=\frac{\partial x}{\partial u}], etc.
Passo 3
Para resolver
com
aplicamos a regra de Cramer. O determinante de
A é
J , e obtemos
Passo 4
Analogamente, aplicamos
partial/partial y e obtemos o sistema
Pelo mesmo Cramer:
Passo 5
Finalmente, aplicando
partial/partial z ficamos com
De novo por Cramer: