1. Considere a transformação T(u, v, w)=(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)), com jacobiano J neq 0. Mostre que ux=1J partial(y, z)partial(v, w) e uy=-1J partial(x, z)partial(v, w). Deduza expressões análogas para as derivadas: uz, vx, vy, vz, wx, wy, e wz.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma transformação invertível
Tcolon(u,v,w)mapsto(x(u,v,w),,y(u,v,w),,z(u,v,w))
com Jacobiano J=detpartial(x,y,z)partial(u,v,w)neq0.
Queremos as derivadas parciais da inversa (x,y,z)mapsto(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z)).

Passo 2

Usamos a regra da cadeia aplicando
Isso gera o sistema linear em :
Aqui usamos a notação (x_u=\frac{\partial x}{\partial u}], etc.

Passo 3

Para resolver
A,(ux,vx,wx)^T=(1,0,0)^T,
com
A=partial(x,y,z)partial(u,v,w),
aplicamos a regra de Cramer. O determinante de A é J, e obtemos
ux = 1J yv & yw zv & zw =1J,partial(y,z)partial(v,w), vx = -1J, partial(y,z)partial(u,w), wx = 1J, partial(y,z)partial(u,v)

Passo 4

Analogamente, aplicamos partial/partial y e obtemos o sistema
xu,uy + xv,vy + xw,wy = 0, yu,uy + yv,vy + yw,wy = 1, zu,uy + zv,vy + zw,wy = 0
Pelo mesmo Cramer:
uy = -1J, partial(x,z)partial(v,w), vy = 1J, partial(x,z)partial(u,w), wy = -1J, partial(x,z)partial(u,v)

Passo 5

Finalmente, aplicando partial/partial z ficamos com
xu,uz + xv,vz + xw,wz = 0, yu,uz + yv,vz + yw,wz = 0, zu,uz + zv,vz + zw,wz = 1
De novo por Cramer:
uz = 1J, partial(x,y)partial(v,w), vz = -1J, partial(x,y)partial(u,w), wz = 1J, partial(x,y)partial(u,v)

Resposta

ux = 1J,partial(y,z)partial(v,w) uy = -1J,partial(x,z)partial(v,w) uz = 1J,partial(x,y)partial(v,w) vx = -1J,partial(y,z)partial(u,w) vy = 1J,partial(x,z)partial(u,w) vz = -1J,partial(x,y)partial(u,w) wx = 1J,partial(y,z)partial(u,v) wy = -1J,partial(x,z)partial(u,v) wz = 1J,partial(x,y)partial(u,v)

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