- Considere a transformação
, com jacobiano
. Deduza as seguintes regras de derivação:
Passo 1
O enunciado dá uma transformação inversível
cujo jacobiano
é diferente de zero. Queremos deduzir as fórmulas das derivadas parciais de
e
em função de
e
, isto é,
.
Passo 2
Como
e
são funções de
inversas de
e
, vale a identidade
Derivando a primeira identidade em relação a
e usando cadeia de forma matricial:
Isso forma um sistema linear em
e
.
Passo 3
Resolvendo o sistema por regra de Cramer, o determinante do coeficiente é exatamente
. Assim
Passo 4
Agora derivamos em relação a
y :
Esse é outro sistema linear em
uy e
vy com o mesmo determinante
J .
Passo 5
Aplicando Cramer ao sistema de
uy,vy , obtemos