1. Considere a transformação , com jacobiano . Deduza as seguintes regras de derivação:

Passo 1

O enunciado dá uma transformação inversível
Tcolon (u,v)longmapsto (x(u,v),,y(u,v)),
cujo jacobiano
J = partial(x,y)partial(u,v) = xu,yv - xv,yu
é diferente de zero. Queremos deduzir as fórmulas das derivadas parciais de u e v em função de x e y, isto é, ux,uy,vx,vy.

Passo 2

Como u e v são funções de (x,y) inversas de x(u,v) e y(u,v), vale a identidade
xl(u(x,y),v(x,y)r)=x, yl(u(x,y),v(x,y)r)=y
Derivando a primeira identidade em relação a x e usando cadeia de forma matricial:
xu,ux + xv,vx = 1, yu,ux + yv,vx = 0
Isso forma um sistema linear em ux e vx.

Passo 3

Resolvendo o sistema por regra de Cramer, o determinante do coeficiente é exatamente J. Assim
ux = 1 & xv 0 & yv J = yvJ, vx = xu & 1 yu & 0 J = -yuJ

Passo 4

Agora derivamos em relação a y:
xu,uy + xv,vy = 0, yu,uy + yv,vy = 1
Esse é outro sistema linear em uy e vy com o mesmo determinante J.

Passo 5

Aplicando Cramer ao sistema de uy,vy, obtemos
uy = 0 & xv 1 & yv J = -xvJ, vy = xu & 0 yu & 1 J = xuJ

Resposta

ux=yvJ, uy=-xvJ, vx=-yuJ, vy=xuJ

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