1. [10pts] Determine alguma região retangular do R^2 tal que o PVI
y^prime=1+x^23 y-y^2, y(3)=5
possui uma única solução, onde y=y(x). Justifique bem a sua resposta. Isto poderá ser feito utilizando-se de algum teorema dado em sala.

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
y' = 1 + x^23,y - y^2, y(3)=5
e pede uma região retangular em R^2 que garanta existência e unicidade da solução. Vamos usar o Teorema de Picard-Lindel"of (existência e unicidade), que exige que a função
f(x,y)=1 + x^23,y - y^2
e sua derivada parcial partial f/partial y sejam contínuas num retângulo contendo (3,5).

Passo 2

Identificamos onde f deixa de ser contínua: o denominador 3,y - y^2 anula-se em
3,y - y^2 = y(3 - y) = 0Longrightarrow y=0 ou y=3
Logo, f é contínua sempre que yneq0 e yneq3.

Passo 3

Como o ponto inicial é (x0,y0)=(3,5), basta escolher um retângulo que não inclua y=0 nem y=3. Por exemplo, defina
R = [2,4]times[4,6]
Nesse retângulo temos xin[2,4] e yin[4,6], e em particular y>3, logo 3,y-y^2neq0 em toda R. Assim f é contínua em R.

Passo 4

Agora calculamos
partial fpartial y = -,(1 + x^2),(3 - 2,y)(3,y - y^2)^2
Como em R o denominador (3,y - y^2)^2 também nunca se anula, partial f/partial y é contínua em R.

Passo 5

Pelo Teorema de Picard-Lindel"of, como f e partial f/partial y são contínuas em um retângulo R que contém (3,5), existe uma única solução do PVI passando por (3,5), pelo menos localmente.

Resposta

Um exemplo de região retangular que garante existência e unicidade é
R = [2,4]times[4,6]

Exercícios relacionados