- [10pts] Determine alguma região retangular do
tal que o PVI
possui uma única solução, onde
. Justifique bem a sua resposta. Isto poderá ser feito utilizando-se de algum teorema dado em sala.
Passo 1
O enunciado nos dá o PVI
e pede uma região retangular em
que garanta existência e unicidade da solução. Vamos usar o Teorema de Picard-Lindel"of (existência e unicidade), que exige que a função
e sua derivada parcial
sejam contínuas num retângulo contendo
.
Passo 2
Identificamos onde
deixa de ser contínua: o denominador
anula-se em
Logo,
é contínua sempre que
e
.
Passo 3
Como o ponto inicial é
, basta escolher um retângulo que não inclua
nem
. Por exemplo, defina
Nesse retângulo temos
e
, e em particular
, logo
em toda
. Assim
é contínua em
.
Passo 4
Agora calculamos
Como em
o denominador
também nunca se anula,
é contínua em
.
Passo 5
Pelo Teorema de Picard-Lindel"of, como
e
são contínuas em um retângulo
que contém
, existe uma única solução do PVI passando por
, pelo menos localmente.
Resposta
Um exemplo de região retangular que garante existência e unicidade é