Em cada caso é dada uma mudança de coordenadas (u, v)=T(x, y). Descreva as retas u=k e v=k nos dois sistemas de coordenadas (plano x y e plano u v ) para os valores k=-2,-1,0,1,2. Determine a transformação inversa T^-1.
T(x, y)=(3 x, 5 y)

Passo 1

O enunciado fornece a transformação linear de coordenadas
T(x,y)=(u,v)=(3x,5y)
e pede que a gente descreva, para k=-2,-1,0,1,2, as retas
u = k e v = k
em ambos os planos ( xy e uv), além de encontrar a inversa T^-1. Vamos usar álgebra simples para relacionar (u,v) a (x,y).

Passo 2

Começamos com as retas do tipo
u = k
No plano uv cada uma é uma reta vertical, pois u fica constante e v varia livremente. Para ver como ela aparece no plano xy, escrevemos
u = 3x = k Longrightarrow x = k3
Logo, no plano xy é uma reta vertical x = k/3.

Passo 3

Para visualizar os casos k=-2,-1,0,1,2, temos no plano uv:
u = -2,;u = -1,;u = 0,;u = 1,;u = 2
que são cinco retas verticais. No plano xy correspondem, respectivamente, às retas
x = -tfrac23, x = -tfrac13, x = 0, x = tfrac13, x = tfrac23

Passo 4

Agora as retas do tipo
v = k
No plano uv são retas horizontais (pois v é constante, u varia). No plano xy usamos
v = 5y = k Longrightarrow y = k5,
que são retas horizontais em y=k/5.

Passo 5

Para k=-2,-1,0,1,2, no plano uv temos
v = -2,;v = -1,;v = 0,;v = 1,;v = 2
cinco retas horizontais. No plano xy correspondem a
y = -tfrac25, y = -tfrac15, y = 0, y = tfrac15, y = tfrac25

Passo 6

Para achar a inversa T^-1(u,v)=(x,y), basta resolver
u = 3x, v = 5y
em função de u e v. Isso dá
x = u3, y = v5
Logo
T^-1(u,v)=l(tfracu3,,tfracv5r)

Resposta

As retas u=k são cinco verticais no plano uv em u=-2,-1,0,1,2 e, em xy, são as verticais
x=-tfrac23,;-tfrac13,;0,;tfrac13,;tfrac23
As retas v=k são cinco horizontais no plano uv em v=-2,-1,0,1,2 e, em xy, são as horizontais
y=-tfrac25,;-tfrac15,;0,;tfrac15,;tfrac25
A transformação inversa é
T^-1(u,v)=l(tfracu3,,tfracv5r)

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