Em cada caso é dada uma mudança de coordenadas
. Descreva as retas
e
nos dois sistemas de coordenadas (plano
e plano
) para os valores
. Determine a transformação inversa
.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede duas coisas:
. Descrever, para
, as retas
e
tanto no plano
quanto no plano
.
. Encontrar a transformação inversa
.
Passo 2
Vamos primeiro olhar para as retas
.
No plano :
No plano
é uma reta vertical passando por
. Para cada
isso é simplesmente a reta vertical em
.
No plano
, a condição
dá
Logo, para
obtemos cinco retas de equação
, com inclinação
e intercepto em
igual a
.
Passo 3
Agora as retas
.
No plano :
No plano
é uma reta horizontal em
. Para cada
temos essas cinco retas horizontais.
No plano
, a condição
dá
Então, para
, há cinco retas de inclinação
e intercepto
.
Passo 4
Para achar
Da primeira equação vem :
Logo
Portanto
Resposta
Transformação inversa:
Retas
,
:
- No plano
: retas verticais . - No plano
: retas , i.e.\ .
Retas
,
:
- No plano
: retas horizontais . - No plano
: retas , i.e.\ .