Em cada caso é dada uma mudança de coordenadas (u, v)=T(x, y). Descreva as retas u=k e v=k nos dois sistemas de coordenadas (plano x y e plano u v ) para os valores k=-2,-1,0,1,2. Determine a transformação inversa T^-1.
T(x, y)=(x-y, 2 x+3 y)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon (x,y)mapsto (u,v) = (,x-y,;2x+3y,)
e pede duas coisas:
1. Descrever, para k=-2,-1,0,1,2, as retas u=k e v=k tanto no plano uv quanto no plano xy.
2. Encontrar a transformação inversa T^-1.

Passo 2

Vamos primeiro olhar para as retas u=k.
No plano uv:
u = k
é uma reta vertical passando por u=k. Para cada kin-2,-1,0,1,2 isso é simplesmente a reta vertical em u=k.
No plano xy, a condição u = x - y = k
x - y = k Long<=ftrightarrow y = x - k
Logo, para k=-2,-1,0,1,2 obtemos cinco retas de equação y = x - k, com inclinação 1 e intercepto em y igual a -k.

Passo 3

Agora as retas v=k.
No plano uv:
v = k
é uma reta horizontal em v=k. Para cada kin-2,-1,0,1,2 temos essas cinco retas horizontais.
No plano xy, a condição v = 2x + 3y = k
2x + 3y = k Long<=ftrightarrow y = -tfrac23x + tfrack3
Então, para k=-2,-1,0,1,2, há cinco retas de inclinação -tfrac23 e intercepto tfrack3.

Passo 4

Para achar
Da primeira equação vem :
Logo
Portanto

Resposta

Transformação inversa:
T^-1(u,v) = l(,tfrac3u+v5,;tfracv-2u5r)
Retas u=k, k=-2,-1,0,1,2:
  • No plano uv: retas verticais u=k.
  • No plano xy: retas x - y = k, i.e.\ y = x - k.
Retas v=k, k=-2,-1,0,1,2:
  • No plano uv: retas horizontais v=k.
  • No plano xy: retas 2x + 3y = k, i.e.\ y = -tfrac23x + tfrack3.

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