1. Seja f: R R uma função com derivada contínua e positiva. Mostre que a transformação T: R^2 R definida por T(u, v)=(f(u),-v+u f(u)) tem jacobiano não nulo em qualquer ponto (u, v) sendo, portanto, invertível. Verifique que T^-1(x, y)=(f^-1(x),-y+x f^-1(x)).

Passo 1

O enunciado define a transformação
TcolonR^2toR^2, T(u,v)=l(f(u),,-v+u,f(u)r),
onde fcolonRtoR tem derivada contínua e positiva.
Precisamos usar o Jacobiano de T para mostrar que det JT(u,v)neq0 em todo ponto (teorema da função inversa) e, em seguida, resolver T(u,v)=(x,y) para obter explicitamente T^-1(x,y).

Passo 2

Vamos calcular o Jacobiano de T. Definindo
x=f(u), y=-v+u,f(u),
temos as derivadas parciais
partial xpartial u=f'(u), partial xpartial v=0,
partial ypartial u=f(u)+u,f'(u), partial ypartial v=-1
Logo a matriz Jacobiana é
JT(u,v) = f'(u) & 0[6pt] f(u)+u,f'(u) & -1
]

Passo 3

O determinante desta matriz é
det JT(u,v) =f'(u)cdot(-1)-0cdotl(f(u)+u,f'(u)r) =-,f'(u)
Como f'(u)>0 por hipótese, segue det JT(u,v)<0 e, em particular, nunca é zero. Pelo teorema da função inversa, T é localmente difeomorfismo em todo ponto. Além disso, f'!>0 implica f estritamente crescente e bijetora, o que garante a invertibilidade global de T.

Passo 4

Para achar a inversa, resolvemos
T(u,v)=(x,y) Longrightarrow x=f(u), y=-v+u,f(u)
Da primeira equação vem u=f^-1(x). Substituindo em y=-v+u,f(u) e lembrando f(u)=x, obtemos
v=-y+u,f(u)=-y+f^-1(x),x
Portanto
T^-1(x,y) =l(f^-1(x),,-y + x,f^-1(x)r)

Passo 5

Basta verificar que
Tl(T^-1(x,y)r) =l(f(f^-1(x)),,-l(-y+x,f^-1(x)r)+f^-1(x),f(f^-1(x))r) =(x,y)
e de modo análogo T^-1(T(u,v))=(u,v), confirmando que a fórmula encontrada é mesmo a inversa.

Resposta

det JT(u,v)=-f'(u)neq0 em todo (u,v), logo T é invertível, e
T^-1(x,y) =l(f^-1(x),,-y + x,f^-1(x)r)

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