- Seja
uma função com derivada contínua e positiva. Mostre que a transformação
definida por
tem jacobiano não nulo em qualquer ponto
sendo, portanto, invertível. Verifique que
.
Passo 1
O enunciado define a transformação
onde
tem derivada contínua e positiva.
Precisamos usar o Jacobiano de para mostrar que
em todo ponto (teorema da função inversa) e, em seguida, resolver
para obter explicitamente
.
Precisamos usar o Jacobiano de
Passo 2
Vamos calcular o Jacobiano de
. Definindo
temos as derivadas parciais
Logo a matriz Jacobiana é
]
Passo 3
O determinante desta matriz é
Como
por hipótese, segue
e, em particular, nunca é zero. Pelo teorema da função inversa,
é localmente difeomorfismo em todo ponto. Além disso,
implica
estritamente crescente e bijetora, o que garante a invertibilidade global de
.
Passo 4
Para achar a inversa, resolvemos
Da primeira equação vem
. Substituindo em
e lembrando
, obtemos
Portanto
Passo 5
Basta verificar que
e de modo análogo
, confirmando que a fórmula encontrada é mesmo a inversa.