11-12 Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores
de

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= 1+sin x, & x<0, cos x, & 0<= x<= pi, sin x, & x>pi,
e pede para esboçar o gráfico e determinar para quais valores de a existe limxto af(x). Vamos usar que uma função tem limite em a exatamente quando as duas limites laterais coincidem.

Passo 2

Esboço qualitativo do gráfico:
– Para x<0, y=1+sin x é a senoide deslocada um para cima, oscilando entre 0 e 2. Em x=0 ela tende a
limxto0^-(1+sin x)=1+0=1
– Para 0<= x<= pi, y=cos x varia de cos0=1 até cospi=-1. Existe ponto fechado em x=0 e em x=pi.
– Para x>pi, y=sin x é a senoide habitual, começando em sinpi=0.

Passo 3

Em qualquer ponto interno de cada ramo (isto é, para a<0, para 0<a<pi e para a>pi) estamos diante de funções contínuas ( sin ou cos). Logo nesses a a limxto af(x) existe e vale f(a).

Passo 4

Em a=0 comparamos as duas laterais:
limxto0^-f(x)=limxto0^-(1+sin x)=1,
limxto0^+f(x)=limxto0^+cos x=cos0=1
Como coincidem, limxto0f(x) existe (vale 1).

Passo 5

Em a=pi temos
limxtopi^-f(x)=limxtopi^-cos x=cospi=-1,
limxtopi^+f(x)=limxtopi^+sin x=sinpi=0
Como -1neq0, a limxtopif(x) não existe.

Resposta

A limxto af(x) existe para todo ainR exceto a=pi.

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