Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (1, y, z) 0,0,0) x^2 y^2 z^2x^2+y^2+z^2

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y,z)to(0,0,0)x^2y^2z^2x^2+y^2+z^2
Este é um limite de função de várias variáveis no ponto (0,0,0) . Vamos usar uma comparação com uma expressão mais simples que depende apenas da distância ao ponto de origem.

Passo 2

Defina
r = raizx^2+y^2+z^2
Quando (x,y,z)neq(0,0,0), temos r>0 e
|x|<= r, |y|<= r, |z|<= r
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|x^2y^2z^2| = |x|^2,|y|^2,|z|^2<= r^2,r^2,r^2=r^6

Passo 3

No denominador aparece exatamente x^2+y^2+z^2=r^2. Portanto, para (x,y,z)neq(0,0,0),
|x^2y^2z^2x^2+y^2+z^2| <= r^6r^2=r^4

Passo 4

Como lim(x,y,z)to(0,0,0)r=0, segue que
0<= |x^2y^2z^2x^2+y^2+z^2|<= r^4 e limrto0r^4=0
Pelo Teorema do Sanduíche (Squeeze Theorem), o limite original existe e vale zero.

Resposta

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