Demonstre, usando a Definição 1 , que
lim (x, y) (a, b) y=b

Passo 1

O enunciado pede para provar que a função
f(x,y)=y
tem limite b quando (x,y)to(a,b). O conteúdo envolvido é o conceito de limite em R^2 usando a definição varepsilon de<a (Definição 1).

Passo 2

Pela definição de limite em R^2, devemos mostrar que para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, sempre que
|(x,y)-(a,b)|<de<a,
então
l|f(x,y)-br|<varepsilon

Passo 3

Note que
|(x,y)-(a,b)| = raiz(x-a)^2 + (y-b)^2
Logo, se raiz(x-a)^2 + (y-b)^2<de<a, então em particular
|y-b|<= raiz(x-a)^2 + (y-b)^2<de<a
Para garantir |y-b|<varepsilon, basta escolher
de<a = varepsilon

Passo 4

Com essa escolha, sempre que |(x,y)-(a,b)|<de<a temos
|f(x,y)-b| = |y-b| < varepsilon,
o que satisfaz a definição de limite em R^2.

Resposta

Portanto, usando a Definição 1, concluímos que
lim(x,y)to(a,b) y = b

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