Resolva as seguintes integrais imediatas: b) integral0^12(1+2 x+3 x^2+cdots+100 x^99) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1/2 de um polinômio cujo termo geral é (i+1)x^i, isto é, 1 + 2x + 3x^2 + … + 100x^99. O conteúdo é integração termo a termo de polinômio e vamos usar que podemos somar as integrais de cada monômio separadamente.

Passo 2

Expressamos a soma de forma indexada: f(x)=sumi=0^99(i+1)x^i. Então a integral fica integral0^1/2f(x),dx=sumi=0^99(i+1)integral0^1/2x^i,dx.
Aqui usamos linearidade da integral.

Passo 3

Para cada monômio aplicamos a fórmula integral x^i,dx=x^i+1i+1. Multiplicando por i+1 obtemos (i+1)integral0^1/2x^i,dx=[x^i+1]0^1/2=(1/2)^i+1.
Isso mostra que os coeficientes se cancelam deixando apenas potências de 1/2.

Passo 4

Somando todos os termos, a integral torna-se
sumi=0^99l(tfrac12r)^i+1=sumj=1^100l(tfrac12r)^j
Reconhecemos uma soma finita de razão r=1/2, primeiro termo a=1/2 e n=100 termos.

Passo 5

Aplicamos a fórmula da soma de progressão geométrica
$$S_n=a\frac{1-rn}{1-r}=\tfrac12\frac{1-(1/2){100}}{1-1/2}=1-(\tfrac12)^{100}.
$$
Esse é o valor da integral.

Passo 6

Resposta

1-l(tfrac12r)^100

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