Resolva as seguintes integrais imediatas: b)
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1/2 de um polinômio cujo termo geral é (i+1)x^i, isto é, 1 + 2x + 3x^2 + … + 100x^99. O conteúdo é integração termo a termo de polinômio e vamos usar que podemos somar as integrais de cada monômio separadamente.
Passo 2
Expressamos a soma de forma indexada:
. Então a integral fica
.
Aqui usamos linearidade da integral.
Aqui usamos linearidade da integral.
Passo 3
Para cada monômio aplicamos a fórmula
. Multiplicando por
obtemos
.
Isso mostra que os coeficientes se cancelam deixando apenas potências de 1/2.
Isso mostra que os coeficientes se cancelam deixando apenas potências de 1/2.
Passo 4
Somando todos os termos, a integral torna-se
Reconhecemos uma soma finita de razão
Passo 5
Aplicamos a fórmula da soma de progressão geométrica
$$S_n=a\frac{1-rn}{1-r}=\tfrac12\frac{1-(1/2){100}}{1-1/2}=1-(\tfrac12)^{100}.
$$
Esse é o valor da integral.
Esse é o valor da integral.