Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0.1) x y-xx^2+y^2-2 y+1

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y)to(0,1) x,y - xx^2 + y^2 - 2,y + 1
ou seja, é um limite de função de duas variáveis em que o ponto de interesse é (0,1). Para testar existência, vamos usar técnica de mudança de variáveis e coordenadas polares.

Passo 2

Observe que no numerador podemos fatorar x:
x,y - x = x,(y - 1)
No denominador, note que
x^2 + y^2 - 2,y + 1 = x^2 + (y - 1)^2

Passo 3

Introduzimos a variável auxiliar
u = y - 1,
de modo que (x,y)to(0,1) equivale a (x,u)to(0,0). A expressão fica
x,(y - 1)x^2 + (y - 1)^2 = x,ux^2 + u^2

Passo 4

Para ver se este limite existe, passamos a coordenadas polares no plano (x,u):
x = rcostheta, u = rsintheta,
com r>=0 e theta qualquer. Então
x,ux^2+u^2 = (rcostheta)(rsintheta)r^2 = costheta,sintheta = tfrac12,sin(2theta)

Passo 5

O valor de tfrac12sin(2theta) depende de theta. Como ao aproximar (x,y) de (0,1) podem ocorrer diferentes ângulos theta, o limite assume valores diferentes conforme a trajetória. Logo, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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