Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede
ou seja, é um limite de função de duas variáveis em que o ponto de interesse é
. Para testar existência, vamos usar técnica de mudança de variáveis e coordenadas polares.
Passo 2
Observe que no numerador podemos fatorar
:
No denominador, note que
Passo 3
Introduzimos a variável auxiliar
de modo que
equivale a
. A expressão fica
Passo 4
Para ver se este limite existe, passamos a coordenadas polares no plano
:
com
e
qualquer. Então
Passo 5
O valor de
depende de
. Como ao aproximar
de
podem ocorrer diferentes ângulos
, o limite assume valores diferentes conforme a trajetória. Logo, o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.