6.8 8.4 8.7 11.9 14.2 18.8
9.9 4.1 9.7 12.7 5.2 7.8
7.8 7.4 7.3 10.6 14.5 10.7
(a) Construa um histograma para esta amostra, considerando 5 classes.
(b) Calcule a mediana e os quartis.
© Calcule o intervalo inter-quartis.
(d) Construa o diagrama de caixa e bigodes dos dados.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma lista de números e precisa fazer várias análises estatísticas. Os passos que vamos seguir são:
a) Construir um histograma com 5 classes.
b) Calcular a mediana e os quartis.
c) Calcular o intervalo interquartil.
d) Construir o diagrama de caixa e bigodes.
Pra isso, vamos precisar entender de distribuição de dados, medidas de tendência central como a mediana, medidas de dispersão como os quartis e o intervalo interquartil, além de saber montar histogramas e diagramas de caixa.

Passo 2

Vamos começar pelo item a): Construir um histograma para esta amostra, considerando 5 classes.
O que é um histograma?
Um histograma é um gráfico que mostra a distribuição de frequência dos dados. Ele divide os dados em intervalos chamados de “classes” e conta quantos valores caem em cada classe.
Passos para construir o histograma:
  1. Encontrar o valor mínimo e máximo dos dados:
    • Olhando os números, o menor valor é 4.1 e o maior é 18.8.
  2. Calcular a amplitude total:
    • Amplitude = Valor máximo - Valor mínimo = 18.8 - 4.1 = 14.7
  3. Determinar o número de classes:
    • Já sabemos que queremos 5 classes.
  4. Calcular a amplitude de cada classe:
    • Amplitude da classe = Amplitude total / Número de classes = 14.7 / 5 = 2.94
    • Arredondando para facilitar, podemos usar 3.
  5. Definir os limites das classes:
    • Classe 1: 4.1 a 7.0
    • Classe 2: 7.1 a 10.0
    • Classe 3: 10.1 a 13.0
    • Classe 4: 13.1 a 16.0
    • Classe 5: 16.1 a 19.0
  6. Contar quantos dados estão em cada classe:
    • Classe 1: 4.1, 5.2, 5.2, 6.8 => 4 valores
    • Classe 2: 7.3, 7.4, 7.8, 7.8, 8.4, 8.7, 9.7, 9.9 => 8 valores
    • Classe 3: 10.6, 10.7, 11.9, 12.7 => 4 valores
    • Classe 4: 14.2, 14.5 => 2 valores
    • Classe 5: 16.8, 18.8 => 2 valores
  7. Desenhar o histograma:
    • No eixo x, colocamos as classes.
    • No eixo y, a frequência (número de valores por classe).
    • Cada classe terá uma barra com altura correspondente à sua frequência.

Passo 3

Agora, vamos para o item b): Calcular a mediana e os quartis.
O que é mediana e quartis?
  • Mediana: É o valor que está no meio da distribuição dos dados quando eles estão ordenados.
  • Quartis: Dividem os dados ordenados em quatro partes iguais. São três quartis:
    • Q1 (primeiro quartil): 25% dos dados estão abaixo dele.
    • Q2 (segundo quartil): É a mediana.
    • Q3 (terceiro quartil): 75% dos dados estão abaixo dele.
Passos para calcular:
  1. Ordenar os dados em ordem crescente:
    • 4.1, 5.2, 5.2, 6.8, 7.3, 7.4, 7.8, 7.8, 8.4, 8.7, 9.7, 9.9, 10.6, 10.7, 11.9, 12.7, 14.2, 14.5, 18.8
  2. Encontrar a mediana (Q2):
    • Número total de dados (n) = 19
    • Mediana está na posição (n+1)/2 = (19+1)/2 = 10ª posição
    • O 10º valor é 8.7
  3. Encontrar Q1:
    • Metade inferior dos dados: dos 1º ao 9º valor
    • Posição de Q1: (n+1)/4 = 5º posição
    • O 5º valor é 7.3
  4. Encontrar Q3:
    • Metade superior dos dados: dos 11º ao 19º valor
    • Posição de Q3: 3*(n+1)/4 = 15º posição
    • O 15º valor é 11.9

Passo 4

Vamos para o item c): Calcular o intervalo interquartil.
O que é intervalo interquartil (IIQ)?
É a diferença entre o terceiro quartil (Q3) e o primeiro quartil (Q1). Ele mostra a dispersão do meio dos dados, ou seja, onde estão concentrados os 50% centrais.
Cálculo:
IIQ = Q3 - Q1 = 11.9 - 7.3 = 4.6

Passo 5

Por último, o item d): Construir o diagrama de caixa e bigodes dos dados.
O que é um diagrama de caixa e bigodes (boxplot)?
É uma representação gráfica que mostra a distribuição dos dados através dos quartis, mediana, e possíveis outliers.
Elementos do boxplot:
  • Caixa: Vai de Q1 a Q3.
  • Linha na caixa: Representa a mediana (Q2).
  • Bigodes: Estendem-se do menor valor até Q1 e do Q3 até o maior valor, ou até 1.5 vezes o IIQ além dos quartis para identificar outliers.
Passos para construir:
  1. Desenhar uma linha de referência com os valores mínimos e máximos:
    • Mínimo: 4.1
    • Máximo: 18.8
  2. Desenhar a caixa:
    • Inicia em Q1 (7.3) e termina em Q3 (11.9).
  3. Marcar a mediana dentro da caixa:
    • Mediana (Q2) é 8.7.
  4. Desenhar os bigodes:
    • Bigode inferior vai do mínimo (4.1) até Q1 (7.3).
    • Bigode superior vai de Q3 (11.9) até o máximo (18.8).
  5. Identificar possíveis outliers:
    • Calcula-se 1.5 * IIQ = 1.5 * 4.6 = 6.9
    • Limites para outliers:
      • Inferior: Q1 - 6.9 = 7.3 - 6.9 = 0.4
      • Superior: Q3 + 6.9 = 11.9 + 6.9 = 18.8
    • Qualquer valor fora desse intervalo seria um outlier. No nosso caso, 18.8 está no limite, então não há outliers.

Resposta

a) Histograma construído com 5 classes:
  • Classe 1 (4.1-7.0): 4 valores
  • Classe 2 (7.1-10.0): 8 valores
  • Classe 3 (10.1-13.0): 4 valores
  • Classe 4 (13.1-16.0): 2 valores
  • Classe 5 (16.1-19.0): 2 valores
b) Mediana e quartis:
  • Mediana (Q2) = 8.7
  • Primeiro quartil (Q1) = 7.3
  • Terceiro quartil (Q3) = 11.9
c) Intervalo interquartil (IIQ):
IIQ = 4.6
d) Diagrama de caixa e bigodes:
  • Caixa de 7.3 a 11.9 com a mediana em 8.7
  • Bigodes de 4.1 a 18.8
  • Sem outliers identificados

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