Delegados de 10 países devem se sentar em 10 cadeiras em fila. De quantos modos isso pode ser feito se os delegados do Brasil e de Portugal devem sentar juntos e o do Japão e o dos Estados Unidos não podem sentar juntos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre como organizar 10 delegados de diferentes países em uma fila de 10 cadeiras. Temos duas condições:
  1. Os delegados do Brasil e de Portugal devem sentar juntos.
  2. Os delegados do Japão e dos Estados Unidos não podem sentar juntos.
Vamos precisar usar conceitos de permutação e combinação, além de aplicar um pouco de raciocínio lógico para lidar com as restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos tratar os delegados do Brasil e de Portugal como um único “grupo”, já que eles precisam sentar juntos. Então, em vez de termos 10 delegados separados, agora temos 9 “unidades” para organizar (o grupo BR-PT mais os outros 8 delegados).

Passo 3

Agora, vamos calcular de quantas maneiras podemos organizar essas 9 unidades em uma fila. Isso é uma permutação de 9 elementos, que é representada por 9! (9 fatorial).
9! = 9 times 8 times 7 times 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 362880

Passo 4

Dentro do grupo BR-PT, os dois delegados (BR e PT) podem trocar de posição entre si. Ou seja, há 2! maneiras de organizar esse grupo.
2! = 2 times 1 = 2

Passo 5

Multiplicando as duas quantidades, temos o total de maneiras de organizar os delegados considerando que BR e PT estão juntos:
9! times 2! = 362880 times 2 = 725760

Passo 6

Agora, precisamos aplicar a segunda condição: os delegados do Japão e dos Estados Unidos não podem sentar juntos. Para isso, vamos inicialmente calcular todas as maneiras em que BR e PT estão juntos e JP e EUA estão juntos, e depois subtrair isso do total que já calculamos.
Primeiro, tratamos BR-PT como um grupo e JP-EUA como outro grupo. Assim, teremos 8 “unidades” para organizar.

Passo 7

Calculando as permutações dessas 8 unidades:
8! = 40320

Passo 8

Dentro de cada grupo (BR-PT e JP-EUA), os delegados podem trocar de posição:
2! times 2! = 2 times 2 = 4

Passo 9

Multiplicando as permutações pelas posições internas dos grupos:
8! times 2! times 2! = 40320 times 4 = 161280

Passo 10

Agora, subtraímos esse número do total anterior para eliminar as situações indesejadas onde JP e EUA estão juntos:
725760 - 161280 = 564480

Resposta

Portanto, o número de maneiras de organizar os delegados respeitando as condições dadas é 564.480.

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