Delegados de 10 países devem se sentar em 10 cadeiras em fila. De quantos modos isso pode ser feito se os delegados do Brasil e de Portugal devem sentar juntos e o do Japão e o dos Estados Unidos não podem sentar juntos?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre como organizar 10 delegados de diferentes países em uma fila de 10 cadeiras. Temos duas condições:
- Os delegados do Brasil e de Portugal devem sentar juntos.
- Os delegados do Japão e dos Estados Unidos não podem sentar juntos.
Vamos precisar usar conceitos de permutação e combinação, além de aplicar um pouco de raciocínio lógico para lidar com as restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos tratar os delegados do Brasil e de Portugal como um único “grupo”, já que eles precisam sentar juntos. Então, em vez de termos 10 delegados separados, agora temos 9 “unidades” para organizar (o grupo BR-PT mais os outros 8 delegados).
Passo 3
Agora, vamos calcular de quantas maneiras podemos organizar essas 9 unidades em uma fila. Isso é uma permutação de 9 elementos, que é representada por
(9 fatorial).
Passo 4
Dentro do grupo BR-PT, os dois delegados (BR e PT) podem trocar de posição entre si. Ou seja, há
maneiras de organizar esse grupo.
Passo 5
Multiplicando as duas quantidades, temos o total de maneiras de organizar os delegados considerando que BR e PT estão juntos:
Passo 6
Agora, precisamos aplicar a segunda condição: os delegados do Japão e dos Estados Unidos não podem sentar juntos. Para isso, vamos inicialmente calcular todas as maneiras em que BR e PT estão juntos e JP e EUA estão juntos, e depois subtrair isso do total que já calculamos.
Primeiro, tratamos BR-PT como um grupo e JP-EUA como outro grupo. Assim, teremos 8 “unidades” para organizar.
Passo 7
Calculando as permutações dessas 8 unidades:
Passo 8
Dentro de cada grupo (BR-PT e JP-EUA), os delegados podem trocar de posição:
Passo 9
Multiplicando as permutações pelas posições internas dos grupos:
Passo 10
Agora, subtraímos esse número do total anterior para eliminar as situações indesejadas onde JP e EUA estão juntos:
Resposta
Portanto, o número de maneiras de organizar os delegados respeitando as condições dadas é 564.480.