11.1The average power absorbed by an inductor is zero.
(a) True
(b) False

Passo 1

O enunciado afirma: “A potência média absorvida por um indutor é zero.” As opções são:
(a) True
(b) False
Informações que vamos usar (pressupostos razoáveis para a questão):
  • Considerar um indutor ideal com indutância \,L\, e corrente \,i(t)\, que seja periódica (caso típico em circuitos AC).
  • Queremos verificar se a potência média, calculada no sentido usual de média temporal sobre um período, é zero.

Passo 2

Definição de potência instantânea e potência média.
  • A potência instantânea absorvida por um elemento elétrico é
p(t)=v(t)\,i(t),
onde \,v(t)\, é a tensão no elemento e \,i(t)\, a corrente instantânea.
  • A potência média sobre um intervalo de tempo T é
P_{\text{méd}}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} p(t)\,dt.é
Explicando as variáveis: \,T\, é o período no caso de sinais periódicos; \,p(t)\, é a potência em cada instante. Se a média sobre um período for zero, não há energia líquida absorvida ao longo do tempo.

Passo 3

Lei do indutor (relação tensão-corrente) e energia armazenada.
  • Para um indutor ideal vale
v(t)=L\,\frac{di(t)}{dt},
onde \,L\, é a indutância (unidade Henry) e \,di/dt\, é a derivada temporal da corrente.
  • A energia instantânea armazenada no campo magnético do indutor é
w(t)=\tfrac{1}{2}L\,i(t)^2.
Aqui \,w(t)\, tem unidades de energia (joules) e depende apenas da corrente instantânea.

Passo 4

Expressar a potência como derivada da energia armazenada.
  • Substituindo v(t) em p(t)=v(t)i(t) obtemos
p(t)=L\,i(t)\,\frac{di(t)}{dt}.
  • Observe que isso é exatamente a derivada temporal da energia armazenada:
p(t)=\frac{d}{dt}\!\left(\tfrac{1}{2}L\,i(t)^2\right)=\frac{d}{dt}w(t).
Explicação didática: isso significa que a potência que entra no indutor em um instante é a taxa de variação da energia do campo magnético. Quando p(t)>0 a energia está aumentando (indutor armazenando energia); quando p(t)<0 a energia está diminuindo (indutor devolvendo energia para a fonte).

Passo 5

Calcular a potência média usando a expressão como derivada.
  • A potência média sobre um período T é
P_{\text{méd}}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} p(t)\,dt=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} \frac{d}{dt}w(t)\,dt.é
  • Integral da derivada sobre um intervalo dá a diferença de valores finais e iniciais:
P_{\text{méd}}=\frac{1}{T}\bigl[w(T)-w(0)\bigr].é
  • Se a corrente é periódica com período T, então i(T)=i(0) e portanto w(T)=w(0). Logo
P_{\text{méd}}=0.é
Interpretação simples: ao fim de cada período a energia armazenada no indutor retornou ao valor inicial; ao longo do ciclo não houve ganho líquido de energia pelo indutor.

Passo 6

Exemplo concreto com corrente senoidal (para fixar a ideia).
  • Considere \,i(t)=I_m\cos(\omega t+\varphi)\,. Então
v(t)=L\frac{di}{dt}=-\omega L I_m\sin(\omega t+\varphi).
  • A potência instantânea é
p(t)=v(t)i(t)=-\omega L I_m^2\sin(\omega t+\varphi)\cos(\omega t+\varphi).
  • Usando \sin\theta\cos\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta) obtemos
p(t)=-\frac{\omega L I_m^2}{2}\sin\bigl(2(\omega t+\varphi)\bigr).
  • A média de \sin(2(\omega t+\varphi)) sobre um período é zero, então P_{\text{méd}}=0é. Isso confirma concretamente o raciocínio geral acima.

Passo 7

Comentário sobre casos reais e interpretação física.
  • Resultado válido para um indutor ideal (sem resistência). Em indutores reais existe sempre alguma resistência ôhmica em série; essa resistência dissipa potência média diferente de zero. Nesse caso a parte ideal (puro indutor) ainda tem média zero, mas a resistência converte energia em calor, produzindo potência média positiva.
  • A potência instantânea no indutor pode ser positiva ou negativa durante o ciclo (o indutor ora absorve energia, ora a devolve). Média zero significa apenas que, no balanço, nada é consumido permanentemente pelo indutor ideal.
  • Em termos de circuitos AC senoidais, isso equivale a dizer que a potência ativa P=V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}\cos\varphi é nula quando a defasagem \varphi entre tensão e corrente é \pm 90^\circ (caso do indutor ideal). Ainda existe potência reativa (troca de energia), mas não potência média absorvida.

Passo 8

Resumo final motivador
  • Conclusão lógica e física: um indutor ideal não consome energia no longo prazo; ele apenas armazena e devolve energia periodicamente. Por isso a potência média é zero. Força para a prova — esse é um resultado que aparece com frequência e é simples de demonstrar com a relação p(t)=\dfrac{d}{dt}\!\bigl(\tfrac{1}{2}L i^2\bigr).

Resposta

(a) True

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