9.5 Given v_{1}=20 \sin \left(\omega t+60^{\circ}\right) and v_{2}= 60 \cos \left(\omega t-10^{\circ}\right), determine the phase angle between the two sinusoids and which one lags the other.

Passo 1

O enunciado fornece duas tensões senoidais e pede a defasagem entre elas e qual atrasa qual. Informações dadas:
  • v_{1}=20\sin\!\big(\omega t+60^\circ\big).
  • v_{2}=60\cos\!\big(\omega t-10^\circ\big).
O que se pede:
  • Determinar o ângulo de fase (defasagem) entre as duas senóides.
  • Dizer qual senoide atrasa (lags) e qual adianta (leads).

Passo 2

Para comparar fases é preciso expressar as duas ondas usando a mesma função trigonométrica (ambas em seno ou ambas em cosseno). Usamos a identidade trigonométrica básica:
\cos\theta=\sin\!\big(\theta+90^\circ\big).
Aplicando isso a v_{2}:
v_{2}=60\cos\!\big(\omega t-10^\circ\big)=60\sin\!\big(\omega t-10^\circ+90^\circ\big)=60\sin\!\big(\omega t+80^\circ\big).

Passo 3

Agora ambas estão em forma seno, então podemos ler diretamente as fases:
  • Fase de v_{1}: \phi_{1}=60^\circ.
  • Fase de v_{2}: \phi_{2}=80^\circ.
Também é útil ver os fasores (representação complexa de amplitude e fase, aqui referida à função seno):
V_{1}=20\angle60^\circ,\qquad V_{2}=60\angle80^\circ.
(A amplitude não altera a discussão de fase; só a fase importa para quem lidera/atrasa.)

Passo 4

Calcular a defasagem (diferença de fase) entre as duas ondas:
\Delta\varphi=\phi_{2}-\phi_{1}=80^\circ-60^\circ=20^\circ.
Interpretação: como \Delta\varphi>0, a segunda onda ( v_{2}) tem fase maior e, portanto, atinge seus máximos mais cedo no tempo — ou seja, v_{2} “lead” (antecipa) e v_{1} “lag” (atrasa).
Explicação intuitiva rápida: \sin(\omega t+\varphi) tem um pico deslocado no tempo por -\varphi/\omega. Maior \varphi significa pico mais à esquerda (antes) no eixo t, logo lidera.

Passo 5

Resumo prático para a prova: converta cos para sin (ou vice‑versa) usando \cos\theta=\sin(\theta+90^\circ), leia as fases e subtraia. O sinal da diferença indica quem lidera: se \phi_B-\phi_A>0 então B lidera A (ou A atrasa B).

Resposta

Defasagem entre as senóides: 20^\circ
v_{1} atrasa (lags) v_{2} em 20^\circ.

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