9.20 A linear network has a current input 4 \cos \left(\omega t+20^{\circ}\right) \mathrm{A} and a voltage output 10 \cos \left(\omega t+110^{\dagger}\right) \mathrm{V}. Determine the associated impedance.

Passo 1

O enunciado dá o sinal de corrente e o sinal de tensão no domínio do tempo e pede a impedância associada. Informações fornecidas:
  • Corrente: i(t)=4\cos\!\big(\omega t+20^\circ\big)\\ \mathrm{A}.
  • Tensão: v(t)=10\cos\!\big(\omega t+110^\circ\big)\\ \mathrm{V}.
    O que se pede: calcular a impedância Z associada a essa rede linear (unidade: \Omega).

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicadinho): em regime senoidal estacionário, sinais do tipo \cos(\omega t+\varphi) são representados por fasores complexos. Um fasor é um número complexo que carrega a magnitude e a fase do sinal; escrevemos, por exemplo, um sinal A\cos(\omega t+\varphi) como o fasor \tilde{A}=A\angle\varphi.
  • Aqui a corrente tem fasor \tilde{I}=4\angle20^\circ (amplitude 4, fase 20^\circ).
  • A tensão tem fasor \tilde{V}=10\angle110^\circ (amplitude 10, fase 110^\circ).
    Importante: não estamos levando em conta fatores 1/2 ou e^{j\omega t} porque usamos a convenção direta de fasores (representação por magnitude e ângulo) — a relação entre fasores é a mesma da relação entre amplitudes e fases.

Passo 3

Definição útil: a impedância complexa Z relaciona fasores por
\tilde{V}=Z\,\tilde{I}.
Portanto, para encontrar Z basta dividir os fasores:
Z=\frac{\tilde{V}}{\tilde{I}}.
Regra prática para divisão de números em forma polar: ao dividir A_1\angle\theta_1 por A_2\angle\theta_2 obtém-se \dfrac{A_1}{A_2}\angle(\theta_1-\theta_2). Ou seja, divide-se as magnitudes e subtrai-se os ângulos.

Passo 4

Aplicando a regra ao caso concreto:
Z=\frac{10\angle110^\circ}{4\angle20^\circ} =\frac{10}{4}\angle(110^\circ-20^\circ).
Calculemos magnitude e ângulo:
\frac{10}{4}=2{,}5,\qquad 110^\circ-20^\circ=90^\circ.
Logo em forma polar:
Z=2{,}5\angle90^\circ\\ \Omega.

Passo 5

Converter para forma retangular (útil para interpretação): lembrar que r\angle\theta=r(\cos\theta+j\sin\theta). Para \theta=90^\circ tem-se \cos90^\circ=0 e \sin90^\circ=1, então
Z=2{,}5(\cos90^\circ+j\sin90^\circ)=2{,}5(0+j\cdot1)=j\,2{,}5\\ \Omega.

Passo 6

Interpretação física rápida e encorajamento: a impedância obtida é puramente imaginária positiva, Z=j2{,}5\\ \Omega, o que significa que a rede se comporta como um indutor (reatância indutiva) com reatância \omega L=2{,}5\\ \Omega. Mandar bem — foi direto: converter sinais em fasores, dividir, e converter se quiser para retangular.

Resposta

Z=2{,}5\angle90^\circ\\ \Omega
Z=j\,2{,}5\\ \Omega

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