11.23 O trióxido de nitrogênio dissocia-se de acordo com a equação
\mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{3}(\mathrm{~g}) \rightleftharpoons \mathrm{NO}_{2}(\mathrm{~g})+\mathrm{NO}(\mathrm{~g}) .
A 25^{\circ} \mathrm{C} e a uma pressão total de 1 atm , o grau de dissociação é de 0,30 . Calcule \Delta G^{\circ} para essa reação.

Passo 1

O enunciado nos dá a reação
\mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{3}(\mathrm{g}) \rightleftharpoons \mathrm{NO}_{2}(\mathrm{g}) + \mathrm{NO}(\mathrm{g}).
Dados fornecidos:
  • Temperatura: 25^\circ\mathrm{C} (ou seja T=298,15\\ \mathrm{K}).
  • Pressão total: P_{\text{tot}}=1\\ \mathrm{atm}.
  • Grau de dissociação: \alpha = 0,30.
O que o problema pede:
  • Calcular \Delta G^{\circ} da reação à temperatura dada.

Passo 2

Entender o que é o grau de dissociação \alpha e modelar as quantidades molares no equilíbrio.
Escolhemos, por conveniência, começar com 1 mol de \mathrm{N}_2\mathrm{O}_3 puro (isso é só um artifício comum; o resultado por mol é independente dessa escolha). Definição:
  • \alpha é a fração de mols de \mathrm{N}_2\mathrm{O}_3 que se dissociou.
Portanto, as quantidades molares no equilíbrio são:
\begin{aligned} n\big(\mathrm{N}_2\mathrm{O}_3\big) &= 1-\alpha,\\[4pt] n\big(\mathrm{NO}_2\big) &= \alpha,\\[4pt] n\big(\mathrm{NO}\big) &= \alpha. \end{aligned}
O número total de mols no equilíbrio é
n_{\text{tot}} = (1-\alpha)+\alpha+\alpha = 1+\alpha.]

Passo 3

Explicar como obter pressões parciais a partir das frações molares (lei dos gases ideais / definição de fração molar).
Para gases ideais em mistura, a pressão parcial de cada componente é a fração molar multiplicada pela pressão total:
P_i = y_i\,P_{\text{tot}},\qquad y_i=\frac{n_i}{n_{\text{tot}}}.
Aplicando aos nossos componentes:
\begin{aligned} P_{\mathrm{N}_2\mathrm{O}_3} &= \frac{1-\alpha}{1+\alpha}\,P_{\text{tot}},\\[4pt] P_{\mathrm{NO}_2} &= \frac{\alpha}{1+\alpha}\,P_{\text{tot}},\\[4pt] P_{\mathrm{NO}} &= \frac{\alpha}{1+\alpha}\,P_{\text{tot}}. \end{aligned}]

Passo 4

Definir a constante de equilíbrio em termos de pressões, K_p.
Para a reação \mathrm{N}_2\mathrm{O}_3 \rightleftharpoons \mathrm{NO}_2 + \mathrm{NO} temos
K_p=\frac{P_{\mathrm{NO}_2}\,P_{\mathrm{NO}}}{P_{\mathrm{N}_2\mathrm{O}_3}}.
Substituindo as expressões das pressões parciais:
K_p = \frac{\big(\dfrac{\alpha}{1+\alpha}P_{\text{tot}}\big)\big(\dfrac{\alpha}{1+\alpha}P_{\text{tot}}\big)} {\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha}P_{\text{tot}}}.

Passo 5

Simplificar a expressão de K_p. Fazer a álgebra com calma:
\begin{aligned} K_p &= \frac{\dfrac{\alpha^2}{(1+\alpha)^2}P_{\text{tot}}^2}{\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha}P_{\text{tot}}} = \frac{\alpha^2}{(1+\alpha)^2}P_{\text{tot}}^2 \cdot \frac{1+\alpha}{1-\alpha}\cdot\frac{1}{P_{\text{tot}}}\\[6pt] &= \frac{\alpha^2}{1+\alpha}\cdot\frac{P_{\text{tot}}}{1-\alpha}. \end{aligned}
Essa é a forma prática para calcular K_p a partir de \alpha e P_{\text{tot}}.]

Passo 6

Substituir \alpha=0,30 e P_{\text{tot}}=1\\ \mathrm{atm} na expressão de K_p e calcular numericamente, passo a passo.
\begin{aligned} \alpha^2 &= (0,30)^2 = 0,09,\\[4pt] 1+\alpha &= 1+0,30 = 1,30,\\[4pt] 1-\alpha &= 1-0,30 = 0,70. \end{aligned}
Logo
\begin{aligned} K_p &= \frac{0,09}{1,30}\cdot\frac{1}{0,70} = \frac{0,09}{1,30\cdot 0,70}. \end{aligned}
Calcule o denominador: 1,30\cdot 0,70 = 0,91. Portanto
K_p = \frac{0,09}{0,91} \approx 0,098901\ldots
Arredondando razoavelmente,
K_p \approx 0,0989\quad(\text{unidade: }\mathrm{atm}).]

Passo 7

Lembrar a relação entre \Delta G^{\circ} e K_p. Para processos gasosos à temperatura T,
\Delta G^{\circ} = -R T \ln K_p,
onde:
  • R é a constante dos gases = 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}},
  • T é a temperatura em kelvin,
  • \ln é o logaritmo natural,
  • K_p é a constante de equilíbrio em termos de pressões parciais (unidades coerentes, aqui em atm).

Passo 8

Calcular \Delta G^{\circ} numericamente. Primeiro calcular \ln K_p:
\ln(0,0989) \approx -2,3132.
Agora calcular -RT\ln K_p:
\Delta G^{\circ} = - (8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}})\times(298,15\\ \mathrm{K})\times(-2,3132).
Calcule R T:
R T = 8,314\times 298,15 \approx 2478,96\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Multiplicando:
\Delta G^{\circ} \approx 2478,96\times 2,3132 \approx 5735\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Converter para \mathrm{kJ\,mol^{-1}}:
\Delta G^{\circ} \approx 5,74\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.

Passo 9

Interpretação rápida (para a prova): o sinal positivo de \Delta G^{\circ} indica que, sob condições padrão ( P^\circ=1\\ \mathrm{atm} para todos os gases), a formação de produtos não é espontânea; isso está consistente com K_p<1. Mas a reação pode ainda ocorrer parcialmente sob as condições reais (aqui \alpha=0,30).

Resposta

\Delta G^{\circ}\approx 5,74\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}

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