Calculate the change in the entropies of the system and the surroundings, and the total change in entropy, when a sample of nitrogen gas of mass 14 g at 298 K and 1.00 bar doubles its volume in an isothermal irreversible expansion against
, and (c) an adiabatic reversible expansion.
Passo 1
O que o problema nos dá e o que pede (tudo que vem do enunciado):
- Massa do gás:
de nitrogênio ( ). - Temperatura inicial (e final, quando aplicável):
. - Pressão inicial:
(informação de estado inicial — não precisaremos do valor numérico para entropia isoterma além de ). - A amostra dobra de volume:
. - Dois processos para analisar:
- Isotérmico irreversível contra
(expansão livre no vácuo). - Expansão adiabática reversível que também dobra o volume.
- Isotérmico irreversível contra
- O que é pedido: para cada processo calcular
- a variação de entropia do sistema
, - a variação de entropia do meio/ambiente
, - a variação total de entropia
.
- a variação de entropia do sistema
Informações úteis que vou usar (explicarei as fórmulas nos próximos passos):
- Massa molar aproximada do
: . - Constante dos gases:
. - Para um gás ideal a entropia é função de estado; para processo isotérmico
. - Entropia do ambiente:
(quando do reservatório é constante). - Para processo reversível adiabático tem-se
.
Passo 2
Converter massa em número de mols (essencial para usar fórmulas com
) e explicar o cálculo.
- Fórmula usada:
, onde -
é o número de mols, -
é a massa da amostra, -
é a massa molar do gás.
-
Calcular:
Fazendo a conta:
Para contas práticas usarei
(metade de um mol), que é consistente com
sendo metade de
.
Comentário rápido: toda a matemática acima está só convertendo unidades — nada de entropia ainda; é só preparar os números.
Passo 3
Conceito de entropia usado: definição e fórmula prática para gás ideal.
- Definição (operacional): a variação de entropia entre dois estados é dada por
ou seja, integra-se o calor trocado ao longo de um caminho reversível dividido por
. Mesmo que o processo real seja irreversível, a mudança de entropia do sistema depende apenas dos estados inicial e final, então podemos calcular
do sistema escolhendo um caminho reversível entre esses estados.
- Para um gás ideal, uma forma prática obtida a partir das relações termodinâmicas é:
onde
-
é o calor específico molar a volume constante, -
é a constante dos gases, -
são temperaturas inicial e final, -
são volumes inicial e final. -
Em particular, para processo isotérmico (
) a primeira parte some e fica a expressão simples:
Vou usar essa expressão no caso (isotérmico). Para o caso adiabático reversível, bastará lembrar que
então
.
Passo 4
Analisar o caso 1: expansão isotérmica irreversível contra
(expansão livre).
Primeiro, trabalho e calor:
- Trabalho realizado pelo gás contra pressão externa constante:
Aqui
, logo
- Para gás ideal em processo isotérmico a energia interna depende só de
, então . Pela primeira lei,
Portanto não houve troca de calor com o ambiente:
.
Agora entropias:
- Entropia do sistema: como entropia é função de estado, posso calcular usando o caminho reversível isotérmico:
Substituindo
e
:
Calcule:
- Entropia do ambiente:
. Como ,
- Entropia total:
Interpretação física curta: apesar de não ter havido troca de calor, a entropia do sistema aumentou porque o processo foi irreversível (expansão livre) e o número de microestados acessíveis aumentou — por isso
.
Passo 5
Analisar o caso 2: expansão adiabática reversível que dobra o volume.
- Definição/condição: adiabática reversível significa
ao longo do processo. - Pela definição da entropia:
pois o integrando é zero em todo o trajeto reversível adiabático.
-
Troca de calor com o ambiente:
. -
Portanto:
Observação didática: mesmo que o volume tenha dobrado e a temperatura do gás mude numa expansão adiabática reversível (no caso de gás ideal a temperatura cai), a entropia do sistema não muda porque o processo é reversível e sem troca de calor — o processo é isotérmico? Não; é adiabático irreversível? Não; é adiabático e reversível (isentrópico): entropia constante.
Passo 6
Resumo numérico e checagens rápidas (garantindo consistência das unidades e sinais):
-
Para o caso isotérmico irreversível contra
: -
, -
, -
(consistente com a segunda lei).
-
-
Para o caso adiabático reversível:
-
, -
, -
(processo reversível e adiabático é isentrópico).
-
Força aí — você já tem os passos e os números para decorar/usar na prova. 😉
Resposta
Isotérmico irreversível (expansão livre,
):
\nIsotérmico irreversível (expansão livre,
):
\nIsotérmico irreversível (expansão livre,
):
\nAdiabático reversível (dobrar volume):
\nAdiabático reversível (dobrar volume):
\nAdiabático reversível (dobrar volume):