11.26 l As dimensões de certa linha de transmissão coaxial são a=0,8 \mathrm{~mm} \mathrm{e} b= 4 mm . A espessura do condutor externo é de 0,6 \mathrm{~mm} e todos os condutores possuem \sigma=1,6 \times 10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m}. (a) Calcule R, a resistência por unidade de comprimento em uma frequência de operação de 2,4 \mathrm{GHz}. (b) Use as informações das Seções 6.3 e 8.10 para encontrar C e L, a capacitância e a indutância por unidade de comprimento, respectivamente. O cabo coaxial é preenchido com ar. (c) Calcule \alpha e \beta se \alpha+j \beta=\sqrt{j \omega C(R+j \omega L)}.

Passo 1

O enunciado trata de uma linha coaxial de raio interno a=0,8\,\mathrm{mm} e raio interno do condutor externo b=4\,\mathrm{mm}, com condutores de condutividade \sigma=1,6\times10^{7}\,\mathrm{S/m}. Em (a) pedem a resistência por unidade de comprimento R em f=2{,}4\,\mathrm{GHz}, levando em conta o efeito pele; em (b) pedem a capacitância C e a indutância L por comprimento de uma linha preenchida com ar; em (c) querem os coeficientes de atenuação \alpha e de fase \beta a partir de
\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{j\omega C\,(R+j\omega L)}.
Para (a) vamos calcular a profundidade de penetração \delta e depois usar as fórmulas de resistência de superfície; para (b) usamos as fórmulas padrão de coaxial ar-cheio; para (c) aplicamos a fórmula de linha de baixa perda (aproximação R\ll\omega L).

Passo 2

Cálculo de \delta e de R:
\omega = 2\pi f = 2\pi\,(2{,}4\times10^{9}) \approx 1{,}508\times10^{10}\,\mathrm{rad/s},
\delta = \sqrt{\frac{2}{\omega\,\mu_{0}\,\sigma}} = \sqrt{\frac{2}{(1{,}508\times10^{10})(4\pi\times10^{-7})(1{,}6\times10^{7})}} \approx 2{,}57\times10^{-6}\,\mathrm{m}.
A resistência de superfície é
R_{s}=\frac{1}{\sigma\,\delta}\approx\frac{1}{(1{,}6\times10^{7})(2{,}57\times10^{-6})} \approx0{,}02432\,\Omega.
Então as resistências por comprimento dos dois condutores são
R_{\text{int}}=\frac{R_{s}}{2\pi a} =\frac{0{,}02432}{2\pi\,(0{,}8\times10^{-3})} \approx4{,}84\;\Omega/\mathrm{m},
R_{\text{ext}}=\frac{R_{s}}{2\pi b} =\frac{0{,}02432}{2\pi\,(4\times10^{-3})} \approx0{,}97\;\Omega/\mathrm{m}.
Logo
R = R_{\text{int}} + R_{\text{ext}} \approx 4{,}84 + 0{,}97 = 5{,}81\;\Omega/\mathrm{m}.

Passo 3

Capacitância e indutância por comprimento de um coaxial cheio de ar:
C = \frac{2\pi\,\varepsilon_{0}}{\ln(b/a)} = \frac{2\pi\,(8{,}854\times10^{-12})}{\ln(4/0.8)} \approx3{,}46\times10^{-11}\,\mathrm{F/m},
L = \frac{\mu_{0}}{2\pi}\,\ln\!\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr) = \bigl(2\times10^{-7}\bigr)\,\ln(5) \approx3{,}22\times10^{-7}\,\mathrm{H/m}.

Passo 4

Para linha de baixa perda R\ll\omega L usa-se
\alpha \approx \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}, \qquad \beta \approx \omega\sqrt{L\,C}.
Calculando
\sqrt{\frac{C}{L}} = \sqrt{\frac{3{,}46\times10^{-11}}{3{,}22\times10^{-7}}} \approx0{,}01036,
\alpha \approx \frac{5{,}81}{2}\,(0{,}01036)\approx0{,}0301\;\mathrm{Np/m},
\beta \approx \frac{\omega}{c} = \frac{1{,}508\times10^{10}}{3\times10^{8}} \approx50{,}3\;\mathrm{rad/m}.

Resposta

(a) R\approx5,81\;\Omega/\mathrm{m}.
(b) C\approx3,46\times10^{-11}\;\mathrm{F/m},\quad L\approx3,22\times10^{-7}\;\mathrm{H/m}.
(c) \alpha\approx0,0301\;\mathrm{Np/m},\quad \beta\approx50,3\;\mathrm{rad/m}.

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