Questão 2 - A função f(\overrightarrow{\boldsymbol{r}}, t) descreve uma onda em 3 dimensões e satisfaz à equação diferencial
\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}-\vec{\nabla}^{2} f+i \frac{\omega_{0}}{c^{2}} \frac{\partial f}{\partial t}=0
onde c e \omega_{0} são constantes reais e positivas e i=\sqrt{-1}.
(a) Quais as unidades de \omega_{0} e c no Sistema Internacional? (VALOR MÁXIMO: 1.0 ponto)
(b) Determine a relação de dispersão \omega(k). (VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)
(c) Faça um esboço do gráfico de \omega(k), indicando pontos de referência relacionados aos coeficientes constantes da equação diferencial. (VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)
(d) Existe gap no espectro descrito por \omega(k) ? Explique. (VALOR MÁXIMO: 1.0 ponto)

Passo 1

O enunciado apresenta a equação
\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}f}{\partial t^{2}}-\nabla^{2}f+i\,\frac{\omega_{0}}{c^{2}}\frac{\partial f}{\partial t}=0
e pede (a) as unidades de c e \omega_{0}, (b) a relação de dispersão \omega(k), (c) esboço de \omega(k) e (d) se há gap de frequência. Vamos usar o ansatz de onda plana f\propto e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}.

Passo 2

Para encontrar as unidades, analisamos cada termo da equação:
– O termo \nabla^{2}f tem dimensão de f dividida por comprimento ao quadrado, ou seja [L^{-2}].
– O termo \tfrac{1}{c^{2}}\partial^{2}f/\partial t^{2} deve ter a mesma dimensão, logo [c^{2}] tem dimensão [L^{2}T^{-2}]. Assim
[c]=\frac{L}{T}\quad\text{(metros por segundo, m/s).}
– O termo i\,\frac{\omega_{0}}{c^{2}}\partial f/\partial t tem dimensão \omega_{0}/c^{2}\times f/T. Para casar com [L^{-2}], [\omega_{0}] deve ser [T^{-1}]. Logo
[\omega_{0}]=T^{-1}\quad\text{(hertz, s\(^{-1}\)).}

Passo 3

Usando f\propto e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}, temos
\frac{\partial^{2}f}{\partial t^{2}}\to -\omega^{2}f,\quad \nabla^{2}f\to -k^{2}f,\quad \frac{\partial f}{\partial t}\to -i\omega f.
Substituindo na equação obtém-se
\frac{1}{c^{2}}(-\omega^{2}) -(-k^{2}) + i\frac{\omega_{0}}{c^{2}}(-i\omega)=0 \;\Longrightarrow\; -\frac{\omega^{2}}{c^{2}} + k^{2} + \frac{\omega_{0}\,\omega}{c^{2}}=0.
Multiplicando por c^{2} resulta
-\omega^{2} + \omega_{0}\,\omega + c^{2}k^{2}=0 \;\Longrightarrow\; \omega^{2}-\omega_{0}\,\omega - c^{2}k^{2}=0.

Passo 4

A equação quadrática em \omega
\omega(k) =\frac{\omega_{0}\pm\sqrt{\omega_{0}^{2}+4c^{2}k^{2}}}{2}.

Passo 5

Esboço de \omega(k):
No eixo horizontal está k\ge0, no vertical \omega. Há duas raízes:
– Ramo “+”: \omega_{+}(0)=\omega_{0} e para k\to\infty, \omega_{+}\approx ck. Começa em \omega_{0} e cresce quase linear.
– Ramo “–”: \omega_{-}(0)=0 ou \omega_{-}(0)=\tfrac{\omega_{0}-\omega_{0}}{2}=0, mas para k>0 torna-se negativo; geralmente desprezado se focamos em frequências positivas.
Marcar no gráfico o ponto (0,\omega_{0}) e a assíntota de inclinação c para \omega_{+}(k).

Passo 6

Há gap no espectro positivo porque \omega_{+}(k)\ge\omega_{0} para todo k. Frequências 0<\omega<\omega_{0} não correspondem a nenhum k, logo existe um gap de tamanho \omega_{0}.

Resposta

(a) \displaystyle [c]=\mathrm{m/s},\quad[\omega_{0}]=\mathrm{s^{-1}}.
(b) \displaystyle \omega(k)=\frac{\omega_{0}\pm\sqrt{\omega_{0}^{2}+4c^{2}k^{2}}}{2}.
(c) Ramo positivo começando em \omega_{0} quando k=0 e com inclinação assintótica c; ramo negativo simétrico.
(d) Sim, há gap de frequência entre 0 e \omega_{0}, pois \omega_{+}(k)\ge\omega_{0}.

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