Questão 2 - A função
descreve uma onda em 3 dimensões e satisfaz à equação diferencial
onde
e
são constantes reais e positivas e
.
(a) Quais as unidades de
e
no Sistema Internacional? (VALOR MÁXIMO: 1.0 ponto)
(b) Determine a relação de dispersão
. (VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)
(c) Faça um esboço do gráfico de
, indicando pontos de referência relacionados aos coeficientes constantes da equação diferencial. (VALOR MÁXIMO: 2.0 pontos)
(d) Existe gap no espectro descrito por
? Explique. (VALOR MÁXIMO: 1.0 ponto)
(a) Quais as unidades de
(b) Determine a relação de dispersão
(c) Faça um esboço do gráfico de
(d) Existe gap no espectro descrito por
Passo 1
O enunciado apresenta a equação
e pede (a) as unidades de
e
, (b) a relação de dispersão
, (c) esboço de
e (d) se há gap de frequência. Vamos usar o ansatz de onda plana
.
Passo 2
Para encontrar as unidades, analisamos cada termo da equação:
– O termo tem dimensão de
dividida por comprimento ao quadrado, ou seja
.
– O termo deve ter a mesma dimensão, logo
tem dimensão
. Assim
– O termo
– O termo
– O termo
tem dimensão
. Para casar com
,
deve ser
. Logo
Passo 3
Usando
, temos
Substituindo na equação obtém-se
Multiplicando por
resulta
Passo 4
A equação quadrática em
dá
Passo 5
Esboço de
:
No eixo horizontal está , no vertical
. Há duas raízes:
– Ramo “+”: e para
,
. Começa em
e cresce quase linear.
– Ramo “–”: ou
, mas para
torna-se negativo; geralmente desprezado se focamos em frequências positivas.
Marcar no gráfico o ponto e a assíntota de inclinação
para
.
No eixo horizontal está
– Ramo “+”:
– Ramo “–”:
Marcar no gráfico o ponto
Passo 6
Há gap no espectro positivo porque
para todo
. Frequências
não correspondem a nenhum
, logo existe um gap de tamanho
.
Resposta
(a)
.
(b)
(c) Ramo positivo começando em quando
e com inclinação assintótica
; ramo negativo simétrico.
(d) Sim, há gap de frequência entre e
, pois
.
(b)
(c) Ramo positivo começando em
(d) Sim, há gap de frequência entre