Uma casca cilíndrica condutora muito longa, de raio
, contém uma carga
distribuída de forma homogênea sobre sua superfície. Considere que ela seja seccionada ao longo de seu eixo, formando duas semicascas cilíndricas, em formato de calha. Determine a força por unidade de comprimento exercida por uma semicasca sobre a outra.
Passo 1
O enunciado descreve uma casca cilíndrica condutora infinita de raio
que carrega carga total
uniformemente sobre a sua superfície. Depois de cortá-la ao longo de um plano que passa pelo eixo, surgem duas semicascas (cada uma com carga
por comprimento). Queremos achar a força por unidade de comprimento que uma semicasca exerce sobre a outra. O conteúdo principal que vamos usar é a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico fora do cilindro completo e depois o tensor de tensão de Maxwell (ou pressão eletrostática) para integrar a força sobre a superfície curva.
Passo 2
Calcular o campo elétrico fora do cilindro completo usando Gauss. Para um comprimento
do cilindro temos carga linear
e, por Gauss, em um ponto radial
Em particular, na superfície
Passo 3
Obter a pressão eletrostática (força por área) sobre a superfície curva do condutor. Para um condutor em que o campo é puramente normal à superfície vale
Esta pressão age localmente na direção normal ao cilindro (isto é, radial).
Passo 4
Calcular a componente dessa pressão que empurra uma semicasca contra a outra ao longo do eixo de corte (digamos eixo
). Parametrizamos a superfície curva da semicasca por ângulo
, de modo que o elemento de área por unidade de comprimento seja
e a componente
da força seja
. Assim
Passo 5
Substituir
na expressão obtida:
Relembrando que
, em termos de
e
fica