Uma casca cilíndrica condutora muito longa, de raio R, contém uma carga Q distribuída de forma homogênea sobre sua superfície. Considere que ela seja seccionada ao longo de seu eixo, formando duas semicascas cilíndricas, em formato de calha. Determine a força por unidade de comprimento exercida por uma semicasca sobre a outra.

Passo 1

O enunciado descreve uma casca cilíndrica condutora infinita de raio R que carrega carga total Q uniformemente sobre a sua superfície. Depois de cortá-la ao longo de um plano que passa pelo eixo, surgem duas semicascas (cada uma com carga \tfrac{Q}{2} por comprimento). Queremos achar a força por unidade de comprimento que uma semicasca exerce sobre a outra. O conteúdo principal que vamos usar é a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico fora do cilindro completo e depois o tensor de tensão de Maxwell (ou pressão eletrostática) para integrar a força sobre a superfície curva.

Passo 2

Calcular o campo elétrico fora do cilindro completo usando Gauss. Para um comprimento L do cilindro temos carga linear
\lambda = \frac{Q}{L},
e, por Gauss, em um ponto radial r\ge R
E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,r}.
Em particular, na superfície r=R
E_{0}\equiv E(R)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,R}.

Passo 3

Obter a pressão eletrostática (força por área) sobre a superfície curva do condutor. Para um condutor em que o campo é puramente normal à superfície vale
p = \frac{\varepsilon_{0}}{2}\,E_{0}^{2}.
Esta pressão age localmente na direção normal ao cilindro (isto é, radial).

Passo 4

Calcular a componente dessa pressão que empurra uma semicasca contra a outra ao longo do eixo de corte (digamos eixo x). Parametrizamos a superfície curva da semicasca por ângulo \varphi\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}], de modo que o elemento de área por unidade de comprimento seja R\,d\varphi e a componente x da força seja p\,R\,d\varphi\cos\varphi. Assim
\frac{F}{L} =\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}p\,R\,\cos\varphi\,d\varphi =\frac{\varepsilon_{0}}{2}\,E_{0}^{2}\,R \int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos\varphi\,d\varphi =\frac{\varepsilon_{0}}{2}\,E_{0}^{2}\,R\cdot 2 =\varepsilon_{0}\,E_{0}^{2}\,R.

Passo 5

Substituir E_{0}=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}R} na expressão obtida:
\frac{F}{L} =\varepsilon_{0}\,\Bigl(\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}R}\Bigr)^{2}R =\frac{\lambda^{2}}{4\pi^{2}\,\varepsilon_{0}\,R}.
Relembrando que \lambda=Q/L, em termos de Q e L fica
\frac{F}{L} =\frac{1}{4\pi^{2}\,\varepsilon_{0}\,R}\,\Bigl(\frac{Q}{L}\Bigr)^{2}.

Resposta

\frac{F}{L} =\frac{\lambda^{2}}{4\pi^{2}\,\varepsilon_{0}\,R} \quad\text{ou}\quad \frac{F}{L} =\frac{1}{4\pi^{2}\,\varepsilon_{0}\,R}\,\Bigl(\frac{Q}{L}\Bigr)^{2}.

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