Seja f(x, y) de classe C^2 num aberto de R^2. Suponhamos que
g(t)=t^2 partial fpartial x(t^2, t^3)
Determine dotg(t)

Passo 1

O enunciado define uma função f(x,y) de classe C^2 num aberto de R^2 e a função escalar
g(t)=t^2,partial fpartial xl(t^2,,t^3r)
Queremos encontrar dot g(t)=ddtg(t). O conteúdo envolvido aqui é a regra do produto e a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro aplicamos a regra do produto a
g(t)=t^2;l(fxcirc hr)(t),
onde h(t)=(t^2,t^3) e fx(x,y)=partial fpartial x(x,y). Assim
dot g(t) =2t;fxl(t^2,t^3r) ;+;t^2;ddt! l[fxl(t^2,t^3r)r]

Passo 3

Agora usamos a regra da cadeia para ddtfxl(t^2,t^3r). Como
x(t)=t^2, y(t)=t^3,
temos
ddtfxl(t^2,t^3r) =fxxl(t^2,t^3r),x'(t) +fxyl(t^2,t^3r),y'(t),
onde
x'(t)=2t, y'(t)=3t^2,
e
fxx=partial^2 fpartial x^2, fxy=partial^2 fpartial xpartial y

Passo 4

Substituindo em dot g(t) obtemos
dot g(t) =2t,fxl(t^2,t^3r) ;+; t^2l[ fxxl(t^2,t^3r)cdot 2t +fxyl(t^2,t^3r)cdot 3t^2 r]
Distribuindo t^2 e coletando potências de t,
dot g(t) =2t,fxl(t^2,t^3r) +2t^3,fxxl(t^2,t^3r) +3t^4,fxyl(t^2,t^3r)

Resposta

dot g(t) =2t,partial fpartial xl(t^2,t^3r) +2t^3,partial^2 fpartial x^2l(t^2,t^3r) +3t^4,partial^2 fpartial xpartial yl(t^2,t^3r)

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