Seja y=y_{1}(x) uma solução de
y^{\prime}+p(x) y=0
e seja y=y_{2}(x) uma solução de
y^{\prime}+p(x) y=q(x)
Mostrar que y=y_{1}(x)+y_{2}(x) também é solução de 11 .

Passo 1

O enunciado trata de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Temos a solução homógenea y_{1}(x) de
y'+p(x)\,y=0
e uma solução particular y_{2}(x) de
y'+p(x)\,y=q(x).
O que queremos mostrar é que a soma
y(x)=y_{1}(x)+y_{2}(x)
também satisfaz a equação não homogênea y'+p(x)\,y=q(x).

Passo 2

Como y_{1} é solução da homogênea, vale
y_{1}'+p(x)\,y_{1}=0.
E como y_{2} é solução da não homogênea, vale
y_{2}'+p(x)\,y_{2}=q(x).

Passo 3

Definimos a soma
y=y_{1}+y_{2}.
Então a derivada é
y'=(y_{1}+y_{2})'=y_{1}'+y_{2}'.
Logo o termo y'+p(x)\,y fica
y'+p(x)\,y = \bigl(y_{1}'+y_{2}'\bigr) + p(x)\,\bigl(y_{1}+y_{2}\bigr).

Passo 4

Agrupando, obtemos
y'+p(x)\,y = \bigl(y_{1}'+p(x)\,y_{1}\bigr) + \bigl(y_{2}'+p(x)\,y_{2}\bigr).
Pela equação de y_{1} isso vale 0, e pela de y_{2} isso vale q(x). Portanto
y'+p(x)\,y = 0 + q(x) = q(x),
isto é, y=y_{1}+y_{2} satisfaz a equação não homogênea.

Resposta

y(x)=y_{1}(x)+y_{2}(x) é solução de y'+p(x)\,y=q(x).

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