Sejam A e B matrizes 4 \times 4 com \operatorname{det}(A)=-2 e \operatorname{det}(B)=5. Calcule:
\operatorname{det}\left(A^{-1} B^{2}\right)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas matrizes 4\times4, A e B, com \det(A)=-2 e \det(B)=5, e queremos calcular \det\bigl(A^{-1}B^2\bigr).
O conteúdo que vamos usar são as propriedades de determinante:
  1. \det(XY)=\det(X)\det(Y) para matrizes quadradas compatíveis.
  2. \det(X^{-1})=\bigl[\det(X)\bigr]^{-1}.
  3. \det(X^k)=\bigl[\det(X)\bigr]^k para inteiro k.

Passo 2

Aplicamos a propriedade de potência ao fator B^2:
\det\bigl(B^2\bigr)=\bigl[\det(B)\bigr]^2=5^2=25.

Passo 3

Aplicamos a propriedade da inversa a A^{-1}:
\det\bigl(A^{-1}\bigr)=\frac{1}{\det(A)}=\frac{1}{-2}=-\frac12.

Passo 4

Agora usamos a propriedade do produto:
\det\bigl(A^{-1}B^2\bigr) =\det\bigl(A^{-1}\bigr)\,\det\bigl(B^2\bigr) =\Bigl(-\tfrac12\Bigr)\times 25 =-\frac{25}{2}.

Resposta

-\tfrac{25}{2}

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