P2.11 Ângulos diretores. Considere o seguinte vetor no espaço cartesiano: \overrightarrow{\mathbf{r}}=5 \hat{\mathbf{i}}-12 \hat{\mathbf{j}}+6 \hat{\mathbf{k}}.
(a) Determine a magnitude de \overrightarrow{\mathbf{r}}.
(b) Calcule os ângulos que o vetor \overrightarrow{\mathbf{r}} faz com cada um dos eixos x, y e z, também chamados ângulos diretores.
(c) Encontre a projeção de \overrightarrow{\mathbf{r}} no plano y z.

Passo 1

O enunciado dá o vetor no espaço
\overrightarrow{\mathbf{r}} = 5\,\hat{\mathbf{i}} - 12\,\hat{\mathbf{j}} + 6\,\hat{\mathbf{k}}
e pede:
a) a magnitude de \overrightarrow{\mathbf{r}};
b) os ângulos diretores \alpha,\beta,\gamma que \overrightarrow{\mathbf{r}} faz com os eixos x,y,z;
c) a projeção de \overrightarrow{\mathbf{r}} no plano yz.

Passo 2

Para a magnitude usamos a definição de norma em \mathbb{R}^3:
\|\overrightarrow{\mathbf{r}}\| = \sqrt{(5)^2 + (-12)^2 + (6)^2} = \sqrt{25 + 144 + 36} = \sqrt{205}.

Passo 3

Os ângulos diretores satisfazem
\cos\alpha = \frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}\cdot\hat{\mathbf{i}}}{\|\overrightarrow{\mathbf{r}}\|}, \quad \cos\beta = \frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}\cdot\hat{\mathbf{j}}}{\|\overrightarrow{\mathbf{r}}\|}, \quad \cos\gamma = \frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}\cdot\hat{\mathbf{k}}}{\|\overrightarrow{\mathbf{r}}\|}.
Como
\overrightarrow{\mathbf{r}}\cdot\hat{\mathbf{i}}=5,
\overrightarrow{\mathbf{r}}\cdot\hat{\mathbf{j}}=-12,
\overrightarrow{\mathbf{r}}\cdot\hat{\mathbf{k}}=6,
temos
\alpha = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{5}{\sqrt{205}}\Bigr), \quad \beta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{-12}{\sqrt{205}}\Bigr), \quad \gamma = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{6}{\sqrt{205}}\Bigr).
Em graus, aproximando \sqrt{205}\approx14{,}3178, resulta
\alpha \approx 69{,}6^\circ,\quad \beta \approx 147{,}2^\circ,\quad \gamma \approx 65{,}2^\circ.

Passo 4

Para projetar \overrightarrow{\mathbf{r}} no plano yz basta anular a componente x. Em outras palavras,
\mathrm{Proj}_{yz}(\overrightarrow{\mathbf{r}}) = \overrightarrow{\mathbf{r}} - (\overrightarrow{\mathbf{r}}\cdot\hat{\mathbf{i}})\,\hat{\mathbf{i}} = (5\,\hat{\mathbf{i}} -12\,\hat{\mathbf{j}} +6\,\hat{\mathbf{k}}) - 5\,\hat{\mathbf{i}} = -12\,\hat{\mathbf{j}} +6\,\hat{\mathbf{k}}.

Resposta

(a) \|\overrightarrow{\mathbf{r}}\| = \sqrt{205}.
(b) \displaystyle \alpha = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{5}{\sqrt{205}}\Bigr)\approx69{,}6^\circ,\quad \beta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{-12}{\sqrt{205}}\Bigr)\approx147{,}2^\circ,\quad \gamma = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{6}{\sqrt{205}}\Bigr)\approx65{,}2^\circ.
(c) \displaystyle \mathrm{Proj}_{yz}(\overrightarrow{\mathbf{r}}) = -12\,\hat{\mathbf{j}} + 6\,\hat{\mathbf{k}}.

Exercícios relacionados