Magnitudes e direções. Dados dois vetores, overrightarrow{\mathrm{X}}=5,0 \hat{\mathbf{1}}-2,0 \hat{\mathbf{j}} e overrightarrow{\mathrm{Y}}=-3,0 \hat{\mathbf{1}}+7,0 \hat{\mathbf{J}}, encontre as magnitudes e direções (em relação ao eixo +x ) de
(d) \vec{Y}-\vec{X}

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{X}=5{,}0\,\hat{\mathbf{i}}-2{,}0\,\hat{\mathbf{j}}
e
\vec{Y}=-3{,}0\,\hat{\mathbf{i}}+7{,}0\,\hat{\mathbf{j}}
e pede a magnitude e a direção do vetor \vec{Y}-\vec{X}. Vamos usar subtração de componentes, a fórmula da magnitude de um vetor e trigonometria (arco-tangente com atenção ao quadrante).

Passo 2

Calculamos o vetor diferença:
\vec{Y}-\vec{X} =(-3{,}0-5{,}0)\,\hat{\mathbf{i}}+(7{,}0-(-2{,}0))\,\hat{\mathbf{j}} =-8{,}0\,\hat{\mathbf{i}}+9{,}0\,\hat{\mathbf{j}}.

Passo 3

A magnitude de \vec{Y}-\vec{X} vem de
|\vec{Y}-\vec{X}| =\sqrt{(-8{,}0)^2+(9{,}0)^2} =\sqrt{64+81} =\sqrt{145} \approx12{,}04.

Passo 4

Para a direção, chamamos de \theta o ângulo medido desde o eixo +x no sentido anti-horário. Temos
\tan\theta=\frac{9{,}0}{-8{,}0}.
Como a componente x é negativa e y é positiva, o vetor está no segundo quadrante. O ângulo de referência é
\alpha=\arctan\Bigl|\frac{9{,}0}{8{,}0}\Bigr|\approx48{,}0^\circ,
então
\theta=180^\circ-\alpha\approx180^\circ-48{,}0^\circ=132{,}0^\circ.

Resposta

A magnitude de \vec{Y}-\vec{X} é aproximadamente 12{,}04 e sua direção em relação ao eixo +x é aproximadamente 132{,}0^\circ.

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