Magnitudes e direções. Dados dois vetores, overrightarrow{\mathrm{X}}=5,0 \hat{\mathbf{1}}-2,0 \hat{\mathbf{j}} e overrightarrow{\mathrm{Y}}=-3,0 \hat{\mathbf{1}}+7,0 \hat{\mathbf{J}}, encontre as magnitudes e direções (em relação ao eixo +x ) de
(e) \vec{X}-\vec{Y}

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em coordenadas cartesianas no plano:
\vec{X}=5,0\,\hat{\mathbf{i}}-2,0\,\hat{\mathbf{j}} e
\vec{Y}=-3,0\,\hat{\mathbf{i}}+7,0\,\hat{\mathbf{j}}.
Queremos calcular o vetor diferença
\vec{D}=\vec{X}-\vec{Y} e em seguida encontrar sua magnitude e a direção em relação ao eixo +x.

Passo 2

Subtraímos componente a componente:
\vec{D}=\vec{X}-\vec{Y}=(5,0-(-3,0),\;-2,0-7,0)\;=\;(8,0,\;-9,0).

Passo 3

A magnitude de \vec{D}=(8,0,-9,0) é dada por
\|\vec{D}\|=\sqrt{(8,0)^{2}+(-9,0)^{2}}=\sqrt{64,0+81,0}=\sqrt{145,0}\approx12,04.

Passo 4

Para a direção, usamos a definição do ângulo \theta medido a partir do eixo +x:
\theta=\arctan\!\bigl(\tfrac{D_y}{D_x}\bigr)
onde D_x=8,0>0 e D_y=-9,0<0, indicando quarto quadrante.

Passo 5

Calculando
\theta=\arctan\!\bigl(\tfrac{-9,0}{8,0}\bigr)\approx-48,37^\circ.
Isso significa 48,37^\circ abaixo do eixo +x, ou ainda 360^\circ-48,37^\circ=311,63^\circ medidos no sentido anti-horário.

Resposta

Magnitude: \|\vec{X}-\vec{Y}\|\approx12,04
Direção: \theta\approx-48,4^\circ (ou 311,6^\circ CCW a partir do eixo +x)

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