P2.12 Vetor resultante. Considere os seguintes vetores:
\begin{aligned} & \overrightarrow{\mathbf{r}}_{1}=5 \hat{\mathbf{i}}-2 \hat{\mathbf{j}}+1 \hat{\mathbf{k}} \\\ & \overrightarrow{\mathbf{r}}_{2}=-3 \hat{\mathbf{i}}+1 \hat{\mathbf{j}}-7 \hat{\mathbf{k}} \\\ & \overrightarrow{\mathbf{r}}_{3}=4 \hat{\mathbf{i}}+7 \hat{\mathbf{j}}+6 \hat{\mathbf{k}} \end{aligned}
(a) Determine o vetor resultante \overrightarrow{\mathbf{r}} da soma dos vetores.
(b) Obtenha o módulo da resultante.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em coordenadas cartesianas e pede (a) o vetor resultante pela soma e (b) o módulo dessa resultante. Vamos usar adição de vetores componente a componente e, depois, aplicar o teorema de Pitágoras em 3D para achar a norma.

Passo 2

Para calcular
\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}_1+\overrightarrow{r}_2+\overrightarrow{r}_3
somamos cada componente:
\overrightarrow{r} = (5 + (-3) + 4)\,\hat{\mathbf{i}} +((-2) + 1 + 7)\,\hat{\mathbf{j}} +(1 + (-7) + 6)\,\hat{\mathbf{k}} =6\,\hat{\mathbf{i}}+6\,\hat{\mathbf{j}}+0\,\hat{\mathbf{k}}

Passo 3

O módulo de \overrightarrow{r} é
|\overrightarrow{r}|=\sqrt{6^2+6^2+0^2} =\sqrt{36+36} =\sqrt{72} =6\sqrt{2}

Resposta

(a) \overrightarrow{r}=6\,\hat{\mathbf{i}}+6\,\hat{\mathbf{j}}+0\,\hat{\mathbf{k}}
(b) |\overrightarrow{r}|=6\sqrt{2}

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