ok 11. Calcule \iiint_{R} 12 x y^{2} z^{3} d V na caixa retangular R=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} /-1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 3,0 \leq z \leq 2\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\displaystyle \iiint_{R}12\,x\,y^{2}\,z^{3}\,dV
na caixa retangular
\displaystyle R=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid -1\le x\le 2,\;0\le y\le 3,\;0\le z\le 2\}.
Vamos usar o teorema de Fubini e observar que o integrando é produto de funções de x, y e z separáveis.

Passo 2

Pelo teorema de Fubini e separabilidade, escrevemos
\iiint_{R}12\,x\,y^{2}\,z^{3}\,dV =12\, \Bigl(\int_{-1}^{2}x\,dx\Bigr)\, \Bigl(\int_{0}^{3}y^{2}\,dy\Bigr)\, \Bigl(\int_{0}^{2}z^{3}\,dz\Bigr).

Passo 3

Calculamos a parte em x:
\int_{-1}^{2}x\,dx = \Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{-1}^{2} = \tfrac{4}{2}-\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}.

Passo 4

Calculamos a parte em y:
\int_{0}^{3}y^{2}\,dy = \Bigl[\tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{3} = \tfrac{27}{3} = 9.

Passo 5

Calculamos a parte em z:
\int_{0}^{2}z^{3}\,dz = \Bigl[\tfrac{z^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{2} = \tfrac{16}{4} = 4.

Passo 6

Multiplicando tudo:
12\times \tfrac{3}{2}\times 9\times 4 = 648.

Resposta

648

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