Faça um esboço da região de integração e calcule as integrais sendo explícito se vai precisar mudar a ordem de integração.
\int_{1}^{\ln 8} \int_{0}^{\ln y} e^{x+y} d x d y.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
\int_{1}^{\ln 8}\int_{0}^{\ln y} e^{x+y}\,dx\,dy.
O conteúdo é integração dupla e descrição de região no plano (x,y). Precisamos esboçar essa região e calcular a integral, indicando se faremos ou não troca na ordem de integração.

Passo 2

A região R vem de
1 \le y \le \ln 8 \quad\text{e}\quad 0 \le x \le \ln y.
Isso significa que, no plano (x,y), a fronteira inferior é a reta y=1, a fronteira superior é y=\ln 8, a fronteira à esquerda é x=0 e a fronteira à direita é a curva x=\ln y, equivalente a y=e^x. O esboço é um “sanduíche” vertical entre y=1 e y=\ln 8, com x variando de 0 até a curva x=\ln y. Não é necessário trocar a ordem de integração, pois a integral interna em x é imediata.

Passo 3

Calculemos primeiro a integral interna em x:
\int_{0}^{\ln y} e^{x+y}\,dx = e^y \int_{0}^{\ln y} e^x\,dx = e^y\bigl[e^x\bigr]_{0}^{\ln y} = e^y\bigl(e^{\ln y}-1\bigr) = e^y\,(y-1).

Passo 4

Agora a integral externa em y:
\int_{1}^{\ln 8} e^y\,(y-1)\,dy = \int_{1}^{\ln 8} y\,e^y\,dy \;-\;\int_{1}^{\ln 8} e^y\,dy.
Usamos a primitivação por partes em \int y\,e^y\,dy: seja u=y, dv=e^y\,dy, então
\int y\,e^y\,dy = y\,e^y - \int 1\cdot e^y\,dy = y\,e^y - e^y.
Logo
\int_{1}^{\ln 8} y\,e^y\,dy = \bigl(y\,e^y - e^y\bigr)\Big|_{1}^{\ln 8}, \quad \int_{1}^{\ln 8} e^y\,dy = \bigl(e^y\bigr)\Big|_{1}^{\ln 8}.

Passo 5

Avaliação nos limites:
\bigl(y\,e^y - e^y\bigr)\Big|_{1}^{\ln 8} = \bigl((\ln 8)\,e^{\ln 8}-e^{\ln 8}\bigr)\;-\;\bigl(1\cdot e^1 -e^1\bigr) = \bigl(8\ln 8 -8\bigr)\;-\;(e -e) = 8(\ln 8 -1).
e
\bigl(e^y\bigr)\Big|_{1}^{\ln 8} = e^{\ln 8}-e^1 = 8 - e.
Portanto
\int_{1}^{\ln 8} e^y\,(y-1)\,dy = \bigl[8(\ln 8 -1)\bigr]\;-\;(8-e) = 8\ln 8 -8 -8 + e = 8\ln 8 -16 + e.
Como \ln 8 = 3\ln 2, podemos também escrever
8\ln 8 = 24\ln 2.

Resposta

24\ln 2 \;-\;16 \;+\;e.

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