Faça um esboço da região de integração e calcule as integrais sendo explícito se vai precisar mudar a ordem de integração. \int_{1}^{\ln 8} \int_{0}^{\ln y} e^{x+y} d x d y.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral dupla
\int_{1}^{\ln 8}\int_{0}^{\ln y} e^{x+y}\,dx\,dy.
O conteúdo é integração dupla e descrição de região no plano (x,y). Precisamos esboçar essa região e calcular a integral, indicando se faremos ou não troca na ordem de integração.
Passo 2
A região R vem de
1 \le y \le \ln 8 \quad\text{e}\quad 0 \le x \le \ln y.
Isso significa que, no plano (x,y), a fronteira inferior é a reta y=1, a fronteira superior é y=\ln 8, a fronteira à esquerda é x=0 e a fronteira à direita é a curva x=\ln y, equivalente a y=e^x. O esboço é um “sanduíche” vertical entre y=1 e y=\ln 8, com x variando de 0 até a curva x=\ln y. Não é necessário trocar a ordem de integração, pois a integral interna em x é imediata.