Calcule as integrais utilizando coordenadas cilíndricas
\int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-y^{2}}}^{\sqrt{4-y^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{2} d V

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{y=-2}^{2}\int_{x=-\sqrt{4-y^{2}}}^{\sqrt{4-y^{2}}}\int_{z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{2}dV
usando coordenadas cilíndricas. O conteúdo aqui é mudança de variáveis de cartesiano (x,y,z) para cilíndrico (r,\theta,z) e avaliação da integral com o jacobiano r.

Passo 2

Vamos descrever a região E de integração. No plano xy, x e y variam sobre o disco
x^{2}+y^{2}\le 4.
Para cada ponto (x,y) nesse disco, z varia de
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
(até acima do cone) até
z=2
(um plano horizontal).

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z=z,
com jacobiano dV = r\,dr\,d\theta\,dz. No disco r vai de 0 a 2 e \theta de 0 a 2\pi. O cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} fica z=r.

Passo 4

A integral fica
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{z=r}^{2}r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Primeiro integramos em z:
\int_{z=r}^{2}r\,dz = r\bigl[z\bigr]_{z=r}^{2} = r(2-r).
Então passa a ser
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}r(2-r)\,dr\,d\theta.

Passo 6

Agora integramos em r:
\int_{0}^{2}(2r - r^{2})\,dr = \bigl[r^{2} - \tfrac{r^{3}}{3}\bigr]_{0}^{2} = 4 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{4}{3}.
Logo a integral em \theta
\int_{0}^{2\pi}\tfrac{4}{3}\,d\theta = \tfrac{4}{3}\times 2\pi = \tfrac{8\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{8\pi}{3}

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