ok 14. Reescreva a integral \int_{0}^{4} \int_{0}^{\frac{4-x}{2}} \int_{0}^{\frac{12-3 x-6 y}{4}} d z d y d x na ordem d y d x d z.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int_{0}^{4}\int_{0}^{\frac{4-x}{2}}\int_{0}^{\frac{12-3x-6y}{4}}dz\,dy\,dx
sobre a região
D=\{(x,y,z)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;2y+x\le4,\;4z+3x+6y\le12\}.
Queremos reescrevê-la na ordem dy\,dx\,dz.

Passo 2

Para uma dada altura z, a condição 4z+3x+6y\le12 equivale a
3x+6y\le12-4z \quad\Longleftrightarrow\quad x+2y\le4-\tfrac{4}{3}z.
Mantêm-se também x\ge0 e y\ge0. Logo, para fixo z, a projeção em xy é o triângulo
\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+2y\le4-\tfrac{4}{3}z\}.

Passo 3

Dentro desse triângulo, se escolhemos primeiro x, ele varia de
0\;\le\;x\;\le\;4-\tfrac{4}{3}z.

Passo 4

Para cada par (x,z) fixo, y varia de 0 até o valor que satisfaz
x+2y=4-\tfrac{4}{3}z \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{4-\tfrac{4}{3}z - x}{2}.
Portanto
0\;\le\;y\;\le\;\frac{4-\tfrac{4}{3}z - x}{2}.

Passo 5

Finalmente, z vai do valor mínimo 0 até aquele em que o ponto (0,0,z) atinge o vértice da face 3x+6y+4z=12, ou seja z=3. Logo
0\;\le\;z\;\le\;3.

Resposta

\int_{z=0}^{3} \int_{x=0}^{\,4-\tfrac{4}{3}z} \int_{y=0}^{\,\frac{4-\tfrac{4}{3}z - x}{2}} dy\,dx\,dz.

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