ok 10. Calcule a integral iterada:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x+y}(x+y+z) d z d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\int_{0}^{\,x+y}(x+y+z)\,dz\,dy\,dx.
O conteúdo é integração iterada (Teorema de Fubini) e vamos proceder integrando em z, depois em y e por fim em x.

Passo 2

Integramos primeiro em z, tratando x e y como constantes:
\int_{0}^{\,x+y}(x+y+z)\,dz =\int_{0}^{\,x+y}(x+y)\,dz+\int_{0}^{\,x+y}z\,dz.
Como \int_{0}^{R}(x+y)\,dz=(x+y)R e \int_{0}^{R}z\,dz=R^2/2 com R=x+y, obtemos
(x+y)(x+y)+\frac{(x+y)^2}{2} =\frac{3}{2}(x+y)^2.
Logo a integral vira
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\frac{3}{2}(x+y)^2\,dy\,dx.

Passo 3

Agora integramos em y:
\int_{0}^{x}(x+y)^2\,dy.
Fazendo a mudança u=x+y temos du=dy, quando y=0 vem u=x e quando y=x vem u=2x. Então
\int_{0}^{x}(x+y)^2\,dy =\int_{u=x}^{2x}u^2\,du =\Bigl[\frac{u^3}{3}\Bigr]_{x}^{2x} =\frac{(2x)^3 - x^3}{3} =\frac{7x^3}{3}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{3}{2} que ficou fora, temos
\int_{0}^{x}\frac{3}{2}(x+y)^2\,dy =\frac{3}{2}\cdot\frac{7x^3}{3} =\frac{7}{2}x^3.
Assim a integral reduz para
\int_{0}^{1}\frac{7}{2}x^3\,dx.

Passo 4

Por fim integramos em x:
\int_{0}^{1}\frac{7}{2}x^3\,dx =\frac{7}{2}\int_{0}^{1}x^3\,dx =\frac{7}{2}\cdot\Bigl[\frac{x^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{7}{2}\cdot\frac{1}{4} =\frac{7}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{8}

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