(Ex. 11, Cap. 22 - Física 2 Resnick, Halliday e Krane - 5^{a} Edição)
A que frequência o comprimento de onda do som é da mesma ordem de grandeza da trajetória livre média no nitrogênio à pressão de 1,02 \mathrm{~atm} e temperatura de 18,0^{\circ} \mathrm{C} ? Considere o diâmetro da molécula de nitrogênio como sendo 315 pM .

Passo 1

O enunciado pede a frequência na qual o comprimento de onda do som \lambda é da mesma ordem de grandeza da trajetória livre média \ell em nitrogênio à pressão de 1,02,atm e temperatura de 18{^\circ}C. O conteúdo necessário envolve (1) cálculo de \ell pela teoria cinética de gases e (2) relação entre \lambda, velocidade do som v e frequência f.

Passo 2

A trajetória livre média num gás ideal é dada por
\ell = \frac{kT}{\sqrt{2}\,\pi\,d^2\,p}
onde k é a constante de Boltzmann, T é a temperatura absoluta, d é o diâmetro molecular e p é a pressão.
Convertendo T = 18{^\circ}\mathrm{C} = 291{,}15,K e p = 1,02,atm =1,02\times1,013\times10^5,Pa, e usando k=1,38\times10^{-23},J/K e d=315,pm =3{,}15\times10^{-10},m, temos
kT = 1,38\times10^{-23}\times291{,}15 \approx 4,02\times10^{-21}\,\mathrm{J},
d^2 = (3,15\times10^{-10})^2 \approx 9,92\times10^{-20}\,\mathrm{m}^2,
p = 1,02\times1,013\times10^5 \approx 1,03\times10^5\,\mathrm{Pa}.
Logo o denominador é
\sqrt{2}\,\pi\,d^2\,p \approx 1,414\,\times3,1416\,\times9,92\times10^{-20}\times1,03\times10^5 \approx 4,55\times10^{-14}\,\mathrm{J/m}.
Portanto
\ell = \frac{4,02\times10^{-21}}{4,55\times10^{-14}} \approx 8,8\times10^{-8}\,\mathrm{m}.

Passo 3

Para som em gás, a velocidade aproximada é
v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}
onde \gamma=1,4 (ar monóxido), R=8,314,J/mo l\cdot K e massa molar de \mathrm{N_2}, M=28\times10^{-3},kg/mol. Substituindo T=291{,}15,K,
v \approx \sqrt{\frac{1,4\times8,314\times291{,}15}{0,028}} \approx 348\,\mathrm{m/s}.

Passo 4

Igualando o comprimento de onda ao valor de \ell, temos
\lambda = \ell \quad\Longrightarrow\quad f = \frac{v}{\lambda} = \frac{v}{\ell}.
Substituindo v\approx348,m/s e \ell\approx8,8\times10^{-8},m,
f \approx \frac{348}{8,8\times10^{-8}} \approx 3,95\times10^{9}\,\mathrm{Hz}.

Resposta

A frequência é da ordem de 4\times10^{9},Hz (na faixa de alguns gigahertz).

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