(Prob. 1, Cap. 22 - Física 2 Resnick, Halliday e Krane - 5{ }^{\mathrm{a}} Edição)
Na temperatura de 0^{\circ} \mathrm{C} e pressão de 1000 atm as massas específicas do ar, do oxigênio e do nitrogênio valem, respectivamente, 1,293 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, 1,429 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e 1,250 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Calcule a percentagem, em massa, de nitrogênio no ar, a partir desses dados, supondo que apenas esses dois gases estejam presentes.

Passo 1

O enunciado informa as massas específicas (densidades) do ar misturado \rho_{\rm mix}, do oxigênio puro \rho_{O_2} e do nitrogênio puro \rho_{N_2} nas mesmas condições de temperatura e pressão. Pede-se a fração mássica de nitrogênio na mistura, supondo só esses dois gases. Como a massa total dividida pelo volume total é a densidade da mistura, usaremos a relação
\frac{1}{\rho_{\rm mix}} =\frac{m_{O_2}/\rho_{O_2}+m_{N_2}/\rho_{N_2}}{m_{O_2}+m_{N_2}} \;,
ou seja,
\frac{1}{\rho_{\rm mix}} =\frac{w_{O_2}}{\rho_{O_2}}+\frac{w_{N_2}}{\rho_{N_2}}
onde w_{i}=m_{i}/(m_{O_2}+m_{N_2}) é a fração mássica de cada componente.

Passo 2

Defina
w_{N_2}=x, \quad w_{O_2}=1-x.
Substituindo em
\frac{1}{\rho_{\rm mix}} =\frac{1-x}{\rho_{O_2}}+\frac{x}{\rho_{N_2}}
obtemos uma equação para x.

Passo 3

Resolva para x:
\frac{1-x}{\rho_{O_2}}+\frac{x}{\rho_{N_2}} =\frac{1}{\rho_{\rm mix}} \quad\Rightarrow\quad x\biggl(\frac{1}{\rho_{N_2}}-\frac{1}{\rho_{O_2}}\biggr) =\frac{1}{\rho_{\rm mix}}-\frac{1}{\rho_{O_2}}
x =\frac{\displaystyle \frac{1}{\rho_{\rm mix}}-\frac{1}{\rho_{O_2}}} {\displaystyle \frac{1}{\rho_{N_2}}-\frac{1}{\rho_{O_2}}}
Agora insira os valores \rho_{\rm mix}=1{,}293, \rho_{O_2}=1{,}429 e \rho_{N_2}=1{,}250 (em \mathrm{kg/m^3}):
\frac{1}{\rho_{\rm mix}}=0{,}7734,\quad \frac{1}{\rho_{O_2}}=0{,}7005,\quad \frac{1}{\rho_{N_2}}=0{,}8000
x =\frac{0{,}7734-0{,}7005}{0{,}8000-0{,}7005} =\frac{0{,}0729}{0{,}0995} \approx0{,}732

Resposta

A percentagem em massa de nitrogênio no ar é aproximadamente 73{,}2\%.

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