(a) Calcule o momento magnético de uma esfera girante uniformemente carregada. (b) Mostre que o momento magnético pode ser escrito como \mu=q L / 2 m, onde L é a quantidade de movimento angular da esfera e m é a massa. (c) Mostre que este não é um bom modelo para a estrutura de um elétron. (Sugestão: A esfera uniformemente carregada precisa ser dividida em espiras de corrente infinitesimais e uma expressão para o momento magnético precisa ser encontrada por integração. { }^{*} "

Passo 1

O enunciado pede o momento magnético de uma esfera de raio R que carrega carga total q distribuída uniformemente em seu volume e gira com velocidade angular \omega. Em (a) vamos calcular diretamente \mu integrando a corrente criada pela rotação; em (b) relacionar \mu ao momento angular L da esfera; em (c) discutir por que esse modelo clássico falha para o elétron. Usaremos densidade volumétrica de carga, densidade de corrente e o fato de que
\boldsymbol{\mu}=\frac12\int \mathbf{r}\times\mathbf{J}\,dV
e depois L=I\omega.

Passo 2

Como a carga está uniformemente distribuída, a densidade volumétrica é
\rho=\frac{q}{\tfrac43\pi R^3}\,.
Cada ponto dentro da esfera move-se com velocidade \mathbf{v}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}, logo a densidade de corrente é
\mathbf{J}(\mathbf{r})=\rho\,\mathbf{v}=\rho\,(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})\,.

Passo 3

O momento magnético vetor é
\boldsymbol{\mu}=\frac12\int \mathbf{r}\times\mathbf{J}\,dV =\frac{\rho}{2}\int \mathbf{r}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})\,dV.
Pela identidade vetorial \mathbf{r}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r})=\boldsymbol{\omega}\,r^2-\mathbf{r}(\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\omega}), temos
\boldsymbol{\mu}=\frac{\rho}{2}\Bigl[\boldsymbol{\omega}\int r^2dV-\int \mathbf{r}(\mathbf{r}\cdot\boldsymbol{\omega})\,dV\Bigr].
Em coordenadas esféricas e usando simetria, \int r^2dV=\tfrac{4\pi R^5}{5} e \int r_i\,r_j\,dV=\delta_{ij}\,\tfrac{4\pi R^5}{15}.
Isso leva a
\boldsymbol{\mu} =\frac{\rho}{2}\Bigl[\boldsymbol{\omega}\,\frac{4\pi R^5}{5}-\boldsymbol{\omega}\,\frac{4\pi R^5}{15}\Bigr] =\frac{\rho\,\boldsymbol{\omega}}{2}\,\frac{8\pi R^5}{15} =\frac{q\,\omega\,R^2}{5}\,\hat{\boldsymbol{\omega}}.

Passo 4

Portanto o módulo do momento magnético vale
\mu=\frac{q\,\omega\,R^2}{5}.

Passo 5

O momento angular da esfera maciça de massa m e raio R é
L=I\,\omega, \quad I=\frac25\,mR^2 \;\Longrightarrow\; L=\frac25\,mR^2\,\omega.
Substituindo em \mu=\frac{q\,\omega\,R^2}{5} obtemos
\mu =\frac{q}{5}\,\omega\,R^2 =\frac{q}{2m}\Bigl(\frac25\,mR^2\,\omega\Bigr) =\frac{q}{2m}\,L.

Passo 6

Para modelar o elétron clássico usaríamos L=\hbar/2 e \mu\approx\mu_B=e\hbar/2m, mas o fator q/2m daria \mu=e\hbar/4m=\tfrac12\mu_B, ou seja g=1 em vez de g\approx2. Além disso, para obter L\approx\hbar/2 com R comparável ao raio clássico do elétron, as velocidades de rotação na superfície teriam que exceder c. Logo esse modelo falha para descrever o elétron.

Resposta

(a) \displaystyle \mu=\frac{q\,\omega\,R^2}{5}.
(b) Mostra-se que \displaystyle \mu=\frac{q}{2m}L.
(c) O modelo dá g=1 em vez de g\approx2 e exige velocidade superluminal, logo não serve para o elétron.

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