(a) Calcule o momento magnético de uma esfera girante uniformemente carregada. (b) Mostre que o momento magnético pode ser escrito como
, onde
é a quantidade de movimento angular da esfera e
é a massa. (c) Mostre que este não é um bom modelo para a estrutura de um elétron. (Sugestão: A esfera uniformemente carregada precisa ser dividida em espiras de corrente infinitesimais e uma expressão para o momento magnético precisa ser encontrada por integração.
"
Passo 1
O enunciado pede o momento magnético de uma esfera de raio
que carrega carga total
distribuída uniformemente em seu volume e gira com velocidade angular
. Em (a) vamos calcular diretamente
integrando a corrente criada pela rotação; em (b) relacionar
ao momento angular
da esfera; em (c) discutir por que esse modelo clássico falha para o elétron. Usaremos densidade volumétrica de carga, densidade de corrente e o fato de que
e depois
.
Passo 2
Como a carga está uniformemente distribuída, a densidade volumétrica é
Cada ponto dentro da esfera move-se com velocidade
, logo a densidade de corrente é
Passo 3
O momento magnético vetor é
Pela identidade vetorial
, temos
Em coordenadas esféricas e usando simetria,
e
.
Isso leva a
Isso leva a
Passo 4
Portanto o módulo do momento magnético vale
Passo 5
O momento angular da esfera maciça de massa
e raio
é
Substituindo em
obtemos
Passo 6
Para modelar o elétron clássico usaríamos
e
, mas o fator
daria
, ou seja
em vez de
. Além disso, para obter
com
comparável ao raio clássico do elétron, as velocidades de rotação na superfície teriam que exceder
. Logo esse modelo falha para descrever o elétron.
Resposta
(a)
(b) Mostra-se que
(c) O modelo dá em vez de
e exige velocidade superluminal, logo não serve para o elétron.
(b) Mostra-se que
(c) O modelo dá