(2.5) No circuito R L C em série da Fig. 4 tem-se C=10 \mu C, L=1 m H, R=20 \Omega, f=1 \mathrm{kHz} e V(t)=10 \cos (2 \pi f t) Volts.
a) (0.5) A partir da lei de Faraday, deduza a equação diferencial que governa esse circuito.
Determine:
b) (0.4) a impedância complexa;
c) (0.4) a amplitude da corrente elétrica;
d) (0.4) a fase da corrente elétrica em relação à voltagem da fonte;
e) (0.4) a voltagem no capacitor como função do tempo;
f) (0.4) a energia média armazenada no indutor;

Passo 1

Temos um circuito série RLC cujos componentes valem \;R=20\\ \Omega,\;L=1\\ \mathrm{mH}=1\times10^{-3}\,\mathrm{H},\;C=10\\ \mu\mathrm{F}=10\times10^{-6}\,\mathrm{F},
alimentado por \;V(t)=10\cos(2\pi f t) com f=1\\ \mathrm{kHz}.
O objetivo é:
a) escrever a equação diferencial usando a lei de Faraday;
b) calcular a impedância complexa Z;
c) achar a amplitude da corrente I_0;
d) determinar a defasagem da corrente em relação à tensão;
e) obter v_C(t);
f) calcular a energia média no indutor.

Passo 2

Pela lei de Faraday, a soma das quedas de tensão em R, L e C deve igualar a fonte. Se q(t) é a carga no capacitor e i(t)=\dot q(t), temos:
v_R+v_L+v_C =R\,i+L\,\frac{d i}{d t}+\frac{q}{C} =10\cos(2\pi f t).
Em termos de q, isto é
L\frac{d^2 q}{d t^2}+R\frac{d q}{d t}+\frac{1}{C}\,q =10\cos\bigl(2\pi\,(10^3)\,t\bigr).

Passo 3

Para regime estacionário senoidal usamos \omega=2\pi f=2\pi\times10^3\\ \mathrm{rad/s}.
X_L=\omega L=2\pi\times10^3\times10^{-3}=2\pi\approx6,283\\ \Omega, \quad X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi\times10^3\times10^{-5}}\approx15,915\\ \Omega.
A impedância complexa é
Z=R+j\,(X_L-X_C) =20+j\,(6,283-15,915) =20 - j\,9,632\\ \Omega.

Passo 4

A amplitude da corrente senoidal é
I_0=\frac{V_0}{\lvert Z\rvert} \quad\text{com}\quad \lvert Z\rvert=\sqrt{20^2+(-9,632)^2}\approx22,20\\ \Omega.
Logo
I_0=\frac{10}{22,20}\approx0,450\\ \mathrm{A}.

Passo 5

O argumento de Z é
\arg(Z)=\arctan\!\Bigl(\frac{-9,632}{20}\Bigr)\approx-25,76^\circ.
Como \underline{I}=\underline{V}/Z, a corrente defasa
\varphi_I=0^\circ-\arg(Z)=+25,76^\circ.
Isto significa que a corrente lidera a tensão em 25,76^\circ (circuito capacitivo).

Passo 6

A tensão no capacitor tem amplitude
V_{C0}=I_0\,X_C\approx0,450\times15,915\approx7,16\\ \mathrm{V},
e defasagem \varphi_C=\varphi_I-90^\circ=25,76^\circ-90^\circ=-64,24^\circ.
Portanto
v_C(t) =7,16\cos\bigl(2\pi\times10^3\,t-64,24^\circ\bigr)\\ \mathrm{V}.

Passo 7

A energia instantânea no indutor é w_L(t)=\tfrac12L\,i^2(t). Em regime senoidal a média de i^2(t) sobre o ciclo é I_0^2/2. Logo a energia média é
\bigl\langle W_L\bigr\rangle =\frac12\,L\;\frac{I_0^2}{2} =\frac{1}{4}\,L\,I_0^2 =\frac14\times10^{-3}\times(0,450)^2 \approx5,06\times10^{-5}\\ \mathrm{J}.

Resposta

a) \displaystyle L\frac{d^2q}{dt^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac1C\,q=10\cos(2\pi\,10^3t).
b) Z=20 - j\,9,632\\ \Omega.
c) I_0\approx0,450\\ \mathrm{A}.
d) \varphi_I\approx+25,76^\circ (corrente em avanço).
e) v_C(t)=7,16\cos\bigl(2\pi\cdot10^3t-64,24^\circ\bigr)\\ \mathrm{V}.
f) \displaystyle\bigl\langle W_L\bigr\rangle\approx5,06\times10^{-5}\\ \mathrm{J}.

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