(Ex. 29, Cap. 22 - Física 2 Resnick, Halliday e Krane - 5{ }^{\text {a }} Edição)
Calcule a fração das partículas de um gás que se movem com energia de translação entre 0,01 k T \mathrm{e} 0,03 k T. Sugestão: Para \mathrm{E} \ll k T o termo \mathrm{e}^{-\mathrm{E} / \mathrm{kt}} pode ser substituído por 1-E/kT. Por quê?)

Passo 1

O enunciado pede a fração de partículas de um gás que têm energia de translação E entre
E_1=0{,}01\,kT \quad\text{e}\quad E_2=0{,}03\,kT
usando a distribuição de Maxwell–Boltzmann de energias. A sugestão é aproximar e^{-E/(kT)} por 1 - E/(kT) quando E\ll kT.

Passo 2

A densidade de probabilidade de encontrar energia entre E e E+dE é
f(E)\,dE = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{1}{(kT)^{3/2}}\sqrt{E}\,\exp\bigl(-E/(kT)\bigr)\,dE.
Como para E\ll kT vale x=E/(kT)\ll1, expandimos
e^{-x}\approx 1 - x,
mantendo até a ordem x.

Passo 3

Substituindo na densidade e integrando de E_1 a E_2:
\begin{aligned} f &= \int_{E_1}^{E_2} \frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{1}{(kT)^{3/2}}\sqrt{E}\,\bigl(1 - E/(kT)\bigr)\,dE\\[6pt] &= \frac{2}{\sqrt{\pi}(kT)^{3/2}}\Bigl[ \int_{E_1}^{E_2}\sqrt{E}\,dE \;-\;\frac{1}{kT}\int_{E_1}^{E_2}E^{3/2}\,dE \Bigr]. \end{aligned}
Usando \displaystyle \int\sqrt{E}\,dE = \tfrac{2}{3}E^{3/2} e \displaystyle \int E^{3/2}\,dE = \tfrac{2}{5}E^{5/2},
definindo a=E_1/(kT)=0{,}01 e b=E_2/(kT)=0{,}03, obtemos
f = \frac{4}{3\sqrt{\pi}}\bigl(b^{3/2}-a^{3/2}\bigr) - \frac{4}{5\sqrt{\pi}}\bigl(b^{5/2}-a^{5/2}\bigr).]

Passo 4

Calculando numericamente:
a^{3/2}=0{,}01^{1,5}=0{,}001,\quad b^{3/2}=0{,}03^{1,5}\approx0{,}005196,
a^{5/2}=0{,}01^{2,5}=10^{-5},\quad b^{5/2}=0{,}03^{2,5}\approx1{,}5588\times10^{-4}.
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f \approx \frac{4}{3\sqrt{\pi}}(0{,}004196) - \frac{4}{5\sqrt{\pi}}(0{,}00014588) \approx 3{,}09\times10^{-3}.

Resposta

A fração de partículas com energia entre 0{,}01\,kT e 0{,}03\,kT é aproximadamente
3{,}1\times10^{-3}.

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