Calcule cada uma das integrais iteradas abaixo:
\int_{0}^{\ln 2} \int_{0}^{\ln 4} e^{2 x-y} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{\ln2}\int_{0}^{\ln4}e^{2x - y}\,dx\,dy.
O conteúdo envolvido é integração de função exponencial em duas variáveis, fazendo primeiro a integral interna em x (mantendo y como constante) e depois a externa em y.

Passo 2

Calcular a integral interna em x:
\int_{0}^{\ln4}e^{2x - y}\,dx = e^{-y}\int_{0}^{\ln4}e^{2x}\,dx = e^{-y}\left[\frac{e^{2x}}{2}\right]_{0}^{\ln4} = e^{-y}\,\frac{e^{2\ln4}-1}{2} = e^{-y}\,\frac{16-1}{2} = \frac{15}{2}\,e^{-y}.

Passo 3

Agora, integrar o resultado em y:
\int_{0}^{\ln2}\frac{15}{2}e^{-y}\,dy = \frac{15}{2}\int_{0}^{\ln2}e^{-y}\,dy = \frac{15}{2}\left[-e^{-y}\right]_{0}^{\ln2} = \frac{15}{2}\bigl(-e^{-\ln2}+e^{0}\bigr) = \frac{15}{2}\bigl(1-\tfrac12\bigr) = \frac{15}{2}\cdot\frac12 = \frac{15}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{15}{4}

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