Sejam
((r,
theta)) as coordenadas polares do ponto
((x, y)) com r
ge 0, Observe que r
rightarrow 0^+ quando
((x, y)
rightarrow(0,0)). Utilize coordenadas polares para calcular os limites a seguir.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\operatorname{sen}\left(x{2}+y{2}\right)}{x{2}+y{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
lim(x,y)(0,0)sinl(x^2+y^2r)x^2+y^2
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis, e vamos usar coordenadas polares para transformar o problema num limite de uma única variável.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta,
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x^2+y^2 = r^2
Substituindo, a expressão vira
sinl(r^2r)r^2,
que não depende de theta, só de r.

Passo 3

Como (x,y)to(0,0) implica rto 0^+, avaliamos
limrto0^+sin(r^2)r^2
Fazendo u = r^2, temos uto0 e então
limuto0sin(u)u = 1

Resposta

1

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