13 Uma indutância fixa de 1,05 \mu \mathrm{H} é usada em série com um capacitor variável na seção de sintonia de um rádio. Qual capacitância sintoniza o circuito para o sinal de uma estação transmitindo a 6,30 \mathrm{MHz} ?

Passo 1

O enunciado pede: determinar a capacitância que sintoniza um circuito série LC para uma estação que transmite a 6,30\\ \mathrm{MHz}, sabendo que a indutância é 1,05\\ \mu\mathrm{H}.
Dados fornecidos (pegos diretamente do enunciado):
  • Indutância: L = 1,05\\ \mu\mathrm{H}.
  • Frequência da estação: f = 6,30\\ \mathrm{MHz}.
A pergunta é: qual o valor da capacitância C que faz o circuito ressonar nessa frequência?

Passo 2

Conceito importante (mini-aula): em um circuito ressonante série LC a corrente é máxima quando a reatância indutiva e a reatância capacitiva se anulam — isso ocorre na frequência de ressonância. As fórmulas fundamentais são:
  • A frequência angular de ressonância é \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}.
  • A frequência em hertz está relacionada com \omega_0 por \omega_0 = 2\pi f.
Juntando as duas relações obtemos a fórmula usual para a frequência de ressonância:
f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.
Aqui:
  • f é a frequência em hertz ( \mathrm{Hz});
  • L é a indutância em henry ( \mathrm{H});
  • C é a capacitância em farad ( \mathrm{F}).
Essa fórmula é derivada de igualar as magnitudes das reatâncias |X_L|=|X_C|, com X_L=\omega L e X_C=1/(\omega C), e resolver para \omega.

Passo 3

Isolar C na fórmula para usar no cálculo (passo algébrico explicadinho):
Partindo de
f=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}},
primeiro isolamos a raiz:
\sqrt{LC}=\frac{1}{2\pi f}.
Elevando ao quadrado:
LC=\frac{1}{(2\pi f)^2}.
Finalmente isolando C:
C=\frac{1}{(2\pi f)^2\,L}.
Explicando cada símbolo de novo: 2\pi f é a frequência angular \omega, (2\pi f)^2 tem unidades de \mathrm{s^{-2}}, multiplicando por L (em \mathrm{H}) dá algo em \mathrm{s^{-2}H} cujo inverso é Farad — coerente com unidades.

Passo 4

Converter as unidades dadas para o SI antes de calcular (passo muito importante na prova):
  • L = 1,05\\ \mu\mathrm{H} = 1,05\times10^{-6}\\ \mathrm{H}.
  • f = 6,30\\ \mathrm{MHz} = 6,30\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}.
Agora vamos calcular passo a passo os termos numéricos.

Passo 5

Calcular (2\pi f), depois elevar ao quadrado, multiplicar por L e inverter para obter C.
  1. Calcular 2\pi f:
2\pi f = 2\pi \times 6,30\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}\approx 3,9584067\times10^{7}\\ \mathrm{s^{-1}}.
  1. Elevar ao quadrado:
(2\pi f)^2 \approx \left(3,9584067\times10^{7}\right)^2 \approx 1,5667\times10^{15}\\ \mathrm{s^{-2}}.
  1. Multiplicar por L:
(2\pi f)^2\,L \approx 1,5667\times10^{15}\times 1,05\times10^{-6} = 1,6450\times10^{9}\\ \mathrm{s^{-2}H}.
  1. Inverter para obter C:
C=\frac{1}{(2\pi f)^2 L}\approx \frac{1}{1,6450\times10^{9}}\\ \mathrm{F} \approx 6,08\times10^{-10}\\ \mathrm{F}.
  1. Converter para uma unidade prática (picofarad, \mathrm{pF}; 1\\ \mathrm{pF}=10^{-12}\\ \mathrm{F}):
C\approx 6,08\times10^{-10}\\ \mathrm{F}=608\\ \mathrm{pF}.
Comentário rápido de colega: normalmente em prova faça os passos exatamente nessa ordem — converter unidades, calcular 2\pi f, quadrado, multiplicar por L e inverter — assim evita erros de potência de 10. E anote qual casa decimal você precisa; aqui apresentar 608\\ \mathrm{pF} com três algarismos significativos é suficiente.

Resposta

C \approx 6,08\times10^{-10}\\ \mathrm{F} = 608\\ \mathrm{pF}

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