13 Uma indutância fixa de
é usada em série com um capacitor variável na seção de sintonia de um rádio. Qual capacitância sintoniza o circuito para o sinal de uma estação transmitindo a
?
Passo 1
O enunciado pede: determinar a capacitância que sintoniza um circuito série LC para uma estação que transmite a
, sabendo que a indutância é
.
Dados fornecidos (pegos diretamente do enunciado):
- Indutância:
. - Frequência da estação:
.
A pergunta é: qual o valor da capacitância
que faz o circuito ressonar nessa frequência?
Passo 2
Conceito importante (mini-aula): em um circuito ressonante série LC a corrente é máxima quando a reatância indutiva e a reatância capacitiva se anulam — isso ocorre na frequência de ressonância. As fórmulas fundamentais são:
- A frequência angular de ressonância é
. - A frequência em hertz está relacionada com
por .
Juntando as duas relações obtemos a fórmula usual para a frequência de ressonância:
Aqui:
-
é a frequência em hertz ( ); -
é a indutância em henry ( ); -
é a capacitância em farad ( ).
Essa fórmula é derivada de igualar as magnitudes das reatâncias
, com
e
, e resolver para
.
Passo 3
Isolar
na fórmula para usar no cálculo (passo algébrico explicadinho):
Partindo de
primeiro isolamos a raiz:
Elevando ao quadrado:
Finalmente isolando
:
Explicando cada símbolo de novo:
é a frequência angular
,
tem unidades de
, multiplicando por
(em
) dá algo em
cujo inverso é Farad — coerente com unidades.
Passo 4
Converter as unidades dadas para o SI antes de calcular (passo muito importante na prova):
Agora vamos calcular passo a passo os termos numéricos.
Passo 5
Calcular
, depois elevar ao quadrado, multiplicar por
e inverter para obter
.
- Calcular
:
- Elevar ao quadrado:
- Multiplicar por
:
- Inverter para obter
:
- Converter para uma unidade prática (picofarad,
; ):
Comentário rápido de colega: normalmente em prova faça os passos exatamente nessa ordem — converter unidades, calcular
, quadrado, multiplicar por
e inverter — assim evita erros de potência de 10. E anote qual casa decimal você precisa; aqui apresentar
com três algarismos significativos é suficiente.