11- Determinar se o vetor v=(1,2,3) é combinação linear dos vetores: v1=(1,0,-1), v2= (0,1,-1) e v3=(1,1,-2).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor v=(1,2,3) pode ser escrito como combinação linear dos vetores v1=(1,0,-1), v2=(0,1,-1) e v3=(1,1,-2). Isso significa achar escalares a, b e c tais que
a,v1 + b,v2 + c,v3 = v
Para resolver, vamos montar o sistema linear correspondente e checar se há solução.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e comparando componentes, temos
a(1,0,-1) + b(0,1,-1) + c(1,1,-2) = (1,2,3)
Isso gera o sistema
a + c = 1, b + c = 2, -,a - b - 2c = 3

Passo 3

Da primeira e da segunda equações isolamos a e b em função de c:
a = 1 - c, b = 2 - c

Passo 4

Substituímos essas expressões na terceira equação:
-(1-c) - (2-c) - 2c = 3 ;Longrightarrow; -1 + c -2 + c -2c = 3 ;Longrightarrow; -3 + (c + c - 2c) = 3 ;Longrightarrow; -3 = 3,
o que é uma contradição.

Passo 5

Como obtemos uma equação impossível, concluímos que não existem a,b,c satisfazendo a combinação. Logo v não está no span de v1,v2,v3.

Resposta

v=(1,2,3) não é combinação linear de v1, v2 e v3.

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